Constant de Planck

Constant de Planck

Valor de h	Unitats
6.626 070 15 × 10-34	J⋅s
4.135 667 696 × 10-15	eV⋅s
Valor de ħ (h-agrane)	Unitats
1.054 571 817 × 10-34	J⋅s
6.582 119 569 × 10-16	eV⋅s
Valor de hc	Unitats
1.986 445 86 × 10-25	J⋅m
1.239 841 93	eV⋅μm
Valor de ħc (h-agrane)	Unitats
3.161 526 49 × 10-26	J⋅m
0.197 326 9804	eV⋅μm

Placa en l'Universitat Humboldt de Berlín que resa:
«En este edifici va ensenyar
MAX PLANCK, el descobridor
del quant d'acció h,
de 1889 a 1928»

La constant de Planck és una constant física que eixercita un paper central en la teoria de la mecànica quàntica i rep el seu nom del seu descobridor, el físic i matemàtic alemà Max Planck, un dels pares de dita teoria. Denotada com $h$, és la constant que freqüentment es definix com el quant elemental d'acció. Planck la denominaria precisament «quant d'acció» (en alemà, Wirkungsquantum), degut a que la cantitat denominada acció d'un procés físic (el producte de l'energia implicada i el temps amprat) solament podia prendre valors discrets, és dir, múltiples sancers de $h$.

Va ser inicialment proposta com la constant de proporcionalitat entre l'energia $E$ d'un fotó i la freqüència $f$ de la seua ona electromagnètica associada.

$E=hf$

Ya que la freqüència $f$, la llongitut d'ona $\lambda$ i la velocitat de la llum $c$ complixen $\lambda f=c$ es pot expressar com:

$E=\frac{hc}{\lambda }$

Una atra equació fonamental en la que intervé la constant de Planck és la que relaciona el moment llineal $p$ d'una partícula en la llongitut d'ona de De Broglie λ de la mateixa:

$\lambda =\frac{h}{p}$

En aplicacions a on la freqüència ve expressada en térmens de radianes per segon o freqüència angular, és útil incloure el factor $\frac{1}{2\pi }$ dins de la constant de Planck. La constant resultant, «constant de Planck reduïda» o «constant de Dirac», s'expressa com ħ («h agrane»):

$\hslash =\frac{h}{2\pi }$

D'esta forma l'energia d'un fotó en freqüència angular $\omega$, a on $\omega =2\pi f$, es podrà expressar com:

$E=\hslash \omega$

Per un atre costat, la constant de Planck reduïda és el quant del moment angular en mecànica quàntica. Els valors que pot prendre el moment angular orbital, de spin o total, són múltiples sancers o semienteros de la constant reduïda. Aixina, si $J$ és el moment angular total d'un sistema en invariancia rotacional i $J_z$ és el moment angular del sistema medit sobre una direcció qualsevol, per eixemple la de l'eix z, estes cantitats solament poden prendre els valors:

$\begin{array}{cc}{J}^2=j(j+1){\hslash }^2& j=0,1/2,1,3/2,\dots \\ J_z=m\hslash ,& m=-j,-j+1,\dots ,j\end{array}$.

Unicode reserva els còdics O+210I (h) per a la constant de Planck i O+210F (h en barra) per a la constant de Dirac.

Orige de la constant

Retrat de Max Planck

Història

El camí que va dur a Max Planck al seu constant va tindre el seu orige en un proyecte que va començar en un quarto de sigle d'anterioritat, la teoria sobre «la llei de distribució d'energia de l'espectre normal». En ell estudiava la radiació tèrmica emesa per un cos per la seua temperatura. En esta teoria es va introduir en 1862 el concepte de cos negre, la superfície del qual absorbix tota la radiació tèrmica que incidix sobre ell i que ademés emet la radiació tèrmica en el mateix espectre a la mateixa temperatura.

No obstant, un estudi experimental del cos negre va conduir a una discrepància entre els resultats experimentals i els obtinguts aplicant les lleis de la Física clàssica. Segons la llei de Stefan-Boltzmann, la radiancia dels cossos aumenta ràpidament en la quarta potència de la temperatura i, ademés, la radiancia espectral es desplaça cap a freqüències majors (llei de desplaçament de Wien). El problema va sorgir en calcular l'energia absorbida pel cos negre a una temperatura donada per mig del teorema de la equipartición d'energia, puix a mida que la freqüència creixia la predicció teòrica tendia a infinit mentres que els experiments mostraven que la densitat d'energia sempre és finita i tendix a zero per a freqüències molt altes. Este comportament irreal de les teories clàssiques a les altes freqüències és conegut com «catàstrofe ultravioleta». Planck estava interessat en donar sentit a este dilema; per a conseguir-ho, va decidir considerar l'energia absorbida i emesa pel cos negre en forma de «paquets» discrets. En realisar els càlculs d'acort en este procediment, i per mig d'un treball numèric, va obtindre una bona concordancia entre els resultats experimentals i els teòrics, introduint una constant que posteriorment va ser coneguda com la constant de Planck (h).

El treball de Planck va supondre el començ de la mecànica quàntica (MC), lo que va dur en si un canvi de mentalitat en la manera de comprendre els fenomens de la naturalea a escala atòmica. El següent pas va vindre de la mà d'Albert Einstein que, de manera anàloga a Planck, va plantejar l'absorció de llum per un metal de forma discreta, a quants, i la seua corresponent emissió d'electrons, en l'efecte fotoeléctrico. Un atre pas donat al començament de el XX va ser l'obtingut en el model del àtom de Bohr i els seus postulats, revolucionant el concepte de l'àtom; en ell intervé este nou concepte de l'emissió i absorció de la llum per la matèria de manera discreta. Per últim, també hi ha una relació de la teoria de Planck i el seu constant en el principi de indeterminación de Heisenberg.

Orde de magnitut de la constant

Quan s'expressa el valor de la constant de Planck en unitats del SI, el valor resultant és molt menut, aproximadament 6.63 × 10^-34 J·s, lo que indica que no sembla aplicable a una escala adaptada a humans (a on els valors habituals són metros, kg o segons). La constant de Planck s'aplica en física quan es treballa a escala atòmica; per eixemple, a l'hora de calcular l'energia d'un fotó del espectre visible en el vert en una freqüència de 5.77 × 10¹⁴ Hz. cada fotó d'esta freqüència té una energia d'h.f = 3.82 × 10 ^-19 J. Per a aplicar la constant de Planck a nivell macroscòpic caldria fer-ho en cantitats de fotons pròpies de la nostra escala. En este cas es pot comparar, per eixemple, en un mol de fotons (N_A = 6.02 × 10²³ molec/mol). Si apliquem la constant de Planck no a un fotó sino a una cantitat hipotètica d'un mol de fotons, l'energia resultant és de l'orde de 230 kJ/mol, que ya és una mida típica en la vida quotidiana, lo que fa palesa les diferents escales en les que es pot valorar la naturalea: l'atòmica (de l'orde de, per eixemple, la constant de Planck), la humana (aplicant les unitats bàsiques de el SI), o la de l'univers (de l'orde de, per eixemple, la velocitat de la llum que permet medir distàncies en anys llum).

La radiació del cos negre

Figura animada que representa un raig de llum incidint sobre un cos negre fins a la seua total absorció

Definició de cos negre

Artícul principal → Cos negre.

El nom cos negre va ser introduït per Gustav Kirchhoff en 1862 i la seua idea deriva de la següent observació: tota la matèria emet radiació electromagnètica quan es troba a una temperatura per damunt del zero absolut. La radiació electromagnètica emesa per un cos a una temperatura donada és un procés espontàneu i procedix d'una conversió de la seua energia tèrmica en energia electromagnètica. També succeïx a l'inversa, tota la matèria absorbix radiació electromagnètica del seu entorn en funció de la seua temperatura. Un objecte que absorbixca tota la radiació que incidix sobre ell a totes les freqüències es denomina cos negre. Quan un cos negre posseïx una temperatura uniforme, la radiació que emet presenta una distribució en funció de la freqüència (o de la llongitut d'ona, relacionada inversamente en esta) que és característica i que depén de la seua temperatura. La superfície d'una estrela com el nostre Sol té una temperatura de 5800 Kelvin i emet radiació en un màxim que es troba sobre els 500 nm (llum visible). En canvi, el cos humà la temperatura mija del qual és molt inferior, està entorn als 37 graus Celsius, i emet, per tant, el seu màxim a majors llongituts d'ona, entorn als 10 micrómetros, que correspon al infrarrojo.

Esta radiació és la que es coneix com a radiació del cos negre. El concepte de cos negre és una idealisació ya que un cos negre perfecte no existix en la naturalea. Per cos negre ideal es considera aquell que absorbix tota la radiació que li aplega sense reflectir-la de tal forma que solament emet la corresponent a la seua temperatura.

Idees prèvies

En la gràfica es representa l'intensitat de la radiació emesa pel cos negre en funció de la llongitut d'ona a diferents temperatures. El màxim de la curva aumenta en anar cap a menors llongituts d'ona (llei de Wien). Es compara en el model clàssic de Rayleigh-Jeans a altes temperatures (5000 K) comprovant-se l'anomenada catàstrofe del ultravioleta

A finals de el XIX la física clàssica podia proporcionar explicacions de la majoria de fenomens observats. No obstant, alguns físics es percataron de certs desajusts relatius als espectres d'emissió i absorció atòmics en el ranc de les llongituts d'ona situades en l'espectre visible o en la disminució en la temperatura del calor molar dels sòlits que no explicava la llei de Dulong i Petit. El major desajust de la teoria clàssica es coneix com «la catàstrofe del ultravioleta» o de Rayleigh-Jeans i està relacionat en l'emissió de radiació pels cossos en equilibri tèrmic a una temperatura donada. D'acort en la llei que varen enunciar Rayleigh i Jeans, la densitat d'energia emesa per un cos negre per a cada freqüència i temperatura era proporcional al quadrat de la freqüència, lo que implicava que quant major era la freqüència major devia ser la cantitat d'energia suministrada pel cos. Per lo tant, la contribució més important a la densitat d'energia de l'emissió de radiació del cos negre correspon a la radiació de menor llongitut d'ona (major freqüència), que en el llímit del visible correspon a la radiació ultravioleta.

No obstant, les mides experimentals demostren lo contrari, és dir, que l'emissió de la radiació disminuïx en disminuir la llongitut d'ona (en aumentar la freqüència), tendint a zero en la regió del ultravioleta. Ademés, si es calcula l'energia total emesa pel cos negre per a totes les llongituts d'ona a una temperatura elevada com la d'una estrela, la llei clàssica donaria una energia infinita; una estrela no emet una radiació infinita i este resultat viola la llei de conservació de l'energia, posant aixina en dubte la llei clàssica o llei de Rayleigh-Jeans.

Va ser Max Planck qui va propondre la llei que du el seu nom i que, per mig de l'idea d'emissió i absorció de la llum per la matèria en forma discreta a «quants» d'energia h·f, resol el problema de l'emissió i absorció de la radiació pels cossos en equilibri tèrmic a una temperatura donada. Esta manera d'abordar el problema de l'emissió i l'absorció de l'energia electromagnètica va crear una nova concepció del món físic.

A finals de el XIX i començos de el XX era virtualment impossible donar-se conte de que la raïl dels inconvenients que presentava l'interpretació d'alguns fenomens físics estava en l'hipòtesis de que l'energia era contínua. Este canvi de mentalitat que supon l'emissió i absorció de la llum pels cossos en forma de quants d'energia ho posaria també de manifest Einstein en 1905 en l'explicació de l'efecte fotoeléctrico.

Llei de Planck per a l'emissió del cos negre

Llei de Planck a diferents temperatures en funció de la freqüència per a la radiació del cos negre

La llei de Planck establix que l'energia electromagnètica absorbida o emesa per un cos negre es realisa per mig d'intercanvi de quants d'energia electromagnètica hf, d'acort en la següent expressió,

$I(f,T)=\frac{2f^2}{c^2}\frac{hf}{e^{hf/kT}-1}$

a on:

• I (f, T) és l'energia per unitat de temps (o la potència), per unitat d'àrea de la superfície que emet en la direcció normal, per unitat d'àngul sòlit, i per unitat de freqüència, radiada per un cos negre a la temperatura T;
• h és la constant de Planck;
• c és la velocitat de la llum en el buit;
• k és la constant de Boltzmann;
• f és la freqüència de la radiació electromagnètica i
• T és la temperatura del cos en Kelvin.

Es pot apreciar cóm apareix reflectit en el terme exponencial d'esta funció de distribució $I(f,T)$ el quant d'energia hf. La llei de Planck es comporta correctament en medicions experimentals d'astrofísica, i més directament relacionades en la Terra, en aquelles aplicacions a on intervinga l'espectre solar per a tot el marge de freqüències del espectre electromagnètic.

Als pocs anys, l'èxit de la seua teoria quàntica per a la correcta interpretació de l'entropía i del tercer principi de la termodinàmica, aixina com les idees d'Einstein sobre la teoria quàntica de la radiació, varen reafirmar a Planck en la certea de la seua teoria.

Verificació: llei de Rayleigh-Jeans

En el llímit clàssic de baixes freqüències la llei de Planck coincidix en la llei de Rayleigh-Jeans:

$I(f,T)=\frac{2f^2}{c^2}\frac{hf}{e^{hf/kT}-1}=\frac{2f^2}{c^2}\frac{hf}{(1+\frac{hf}{kT}+\mathrm{...})-1}\approx \frac{2f^2}{c^2}kT$

Per a freqüències intermiges i altes, no obstant, diferixen. És més, en aumentar la freqüència f, la segona creix indefinidament mentres que la primera tendix a zero.