Moment angular

Archiu:Angular momentum circle.png

Moment angular

El moment angular o moment cinètic és una magnitut física, equivalent rotacional del moment llineal. És una cantitat vectorial que caracterisa les propietats d'inèrcia d'un cos, que gira en relació en cert punt. Es troba en les tres mecàniques (mecànica clàssica, quàntica i relativista). En el Sistema Internacional d'Unitats el moment cinètic es medix en kg·m²/s. Esta magnitut eixercita respecte a les rotacions un paper anàlec al moment llineal en les translacions.

El nom tradicional en espanyol és moment cinètic; «moment angular» és d'us comú per l'influència de l'anglés angular momentum.

Baixe certes condicions de simetria rotacional dels sistemes és una magnitut física que es manté constant en el temps a mida que el sistema va canviant, la qual cosa dona lloc a la cridada llei de conservació del moment cinètic. El moment cinètic per a un cos rígit que trencada respecte a un eix és la resistència que oferix dit cos a la variació de la velocitat angular. No obstant, això no implica que siga una magnitut exclusiva de les rotacions; per eixemple, el moment cinètic d'una partícula que es mou lliurement en velocitat constant (en mòdul i direcció) també es conserva.

Moment cinètic en mecànica clàssica

Moment cinètic d'una massa puntual

Archiu:Moglfm1202 momento angular.jpg

El moment cinètic d'una partícula sobre el punt $O$ és el producte vectorial del seu moment llineal $m𝐯$ pel vector $𝐫$.

En mecànica newtoniana, el moment cinètic d'una partícula o massa puntual sobre un punt O de l'espai es definix com el moment del seu cantitat de moviment $𝐩$ sobre eixe punt. Normalment es designa per mig del símbol $𝐋$. Sent $𝐫$ el vector que unix el punt O en la posició de la massa puntual (també conegut com el radi de la trayectòria), serà:

El vector $𝐋$ és perpendicular al pla que conté $𝐫$ i $𝐯$, en la direcció indicada per la regla del producte vectorial o regla de la mà dreta i el seu mòdul o intensitat és:

açò és, el producte del mòdul del moment llineal pel seu braç ($b_p$ en el dibuix), definit este com la distància del punt respecte al que es pren el moment a la recta que conté la velocitat de la partícula.

Moment cinètic i moment dinàmic

Derivem el moment cinètic sobre el temps:

El primer dels paréntesis és zero ya que la derivada de $𝐫$ sobre el temps no és una atra cosa que la velocitat $𝐯$ i, com el vector velocitat és paralel al vector cantitat de moviment $𝐩$, el producte vectorial és zero. Sobre el segon paréntesis, tenim:

a on $𝐚$ és l'acceleració de la partícula, de modo que $m𝐚=𝐅$, és la força que actua sobre ella. ya que el producte vectorial de $𝐫$ per la força és el moment o moment dinàmic aplicat a la massa, tenim:

Aixina, la derivada temporal del moment cinètic és igual al moment dinàmic que actua sobre la partícula. Cal destacar que en esta expressió abdós moments, $𝐋$ i $𝐌$ deuran estar referits al mateix punt O.

A modo d'eixemple, el fet que la variació de la velocitat angular depenga del moment de força és lo que permet que una clau anglesa permeta apretar o afluixar una femella molt més que simplement fent-la girar en la mà. Degut a que la clau anglesa i la femella constituïxen un sistema rígit tot ell deu girar al mateix temps. En ser molt més llarga la clau anglesa que el radi de la femella, fer una miqueta de força en la clau obliga a la femella a fer una força molt major per a poder frenar el seu alvanç, la qual cosa implica que claus més grans permeten apretar femelles a majors pressions.

Moment cinètic d'un conjunt de partícules puntuals

El moment cinètic d'un conjunt de partícules és la suma dels moments angulars de cada una:

La variació temporal és:

El terme de dreta és la suma de tots els moments produïts per totes les forces que actuen sobre les partícules. Una part d'eixes forces pot ser d'orige extern al conjunt de partícules. Una atra part pot ser forces entre partícules. Pero cada força entre partícules té la seua reacció que és igual pero de direcció oposta i colineal. Això vol dir que els moments produïts per cada una de les forces d'un parell acció-reacció són iguals i de signe contrari i que la seua suma s'anula. És dir, la suma de tots els moments d'orige intern és zero i no pot fer canviar el valor del moment cinètic del conjunt. Solament queden els moments externs:

$\frac{d𝐋}{dt}=\sum \frac{d{𝐋}_i}{dt}={𝐌}_{ext.}$

El moment cinètic d'un sistema de partícules es conserva en absència de moments externs. Esta afirmació és vàlida per a qualsevol conjunt de partícules: des de núcleus atòmics fins a grups de galàxies.

Moment cinètic d'un sòlit rígit

Tenim que en un sistema inercial l'equació de moviment és:

$\frac{d𝐋}{dt}=\frac{d}{dt}[𝐈(t)𝝎(t)]$

A on:

• $𝝎$ és la velocitat angular del sòlit.
• $𝐈$ és el tensor d'inèrcia del cos.

Ara be, normalment per a un sòlit rígit el tensor d'inèrcia $𝐈$, depén del temps i per tant en el sistema inercial generalment no existix un anàlec de la segona llei de Newton, i a menos que el cos gire al voltant d'un dels eixos principals d'inèrcia succeïx que:

$\frac{d𝐋}{dt}\ne 𝐈\frac{d𝝎}{dt}=𝐈𝜶$

A on $𝜶$ és l'acceleració angular del cos. Per això resulta més útil plantejar les equacions de moviment en un sistema no inercial format pels eixos principals d'inèrcia del sòlit, aixina es conseguix que $𝐈=\text{cte.}$, encara que llavors és necessari contar en les forces d'inèrcia:

$\frac{d𝐋}{dt}=𝐈\frac{d𝝎}{dt}+𝝎\times (𝐈𝝎)$

Que resulta ser una equació no llineal en la velocitat angular.

Conservació del moment cinètic clàssic

Quan la suma dels moments externs és zero $𝐌=0$, hem vist que:

$\frac{d𝐋}{dt}=0$

Això vol dir que $𝐋=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}$. I com $𝐋$ és un vector, és constant tant en mòdul com en direcció.

Considerem un objecte que pot canviar de forma. En una d'eixes formes, la seua Moment d'inèrcia és $I_1$ i la seua velocitat angular ${𝝎}_1$. Si l'objecte canvia de forma (sense intervenció d'un moment extern) i que la nova distribució de masses fa que el seu nou Moment d'inèrcia siga $I_2$, la seua velocitat angular canviarà de manera tal que:

${𝐈}_1{𝝎}_1={𝐈}_2{𝝎}_2$

En alguns casos el moment d'inèrcia es pot considerar un escalar. Llavors la direcció del vector velocitat angular no canviarà. Solament canviarà la velocitat de rotació.

Hi ha molts fenomens en els quals la conservació del moment cinètic té molta importància. Per eixemple:

• En tots les arts i els deports en els quals es fan regressos, piruetes, etc. Per eixemple, per a fer una pirueta, una ballarina o una patinadora prenen impuls en els braços i una cama estesa per a aumentar els seus moments d'inèrcia al voltant de la vertical. Despuix, tancant els braços i la cama, disminuïxen els seus moments d'inèrcia, la qual cosa aumenta la velocitat de rotació. Per a terminar la pirueta, l'extensió dels braços i una cama, permet disminuir la velocitat de rotació. Succeïx lo mateix en el bot de plataforma o el trampolí. També és important en el ciclisme i motociclisme, ya que la conservació del moment cinètic és la responsable de la senzillea en que és possible mantindre l'equilibri.

• Per a controlar l'orientació angular d'un satèlit o sonda espacial. Com es pot considerar que els moments externs són zero, el moment cinètic i després, l'orientació del satèlit no canvien. Per a canviar esta orientació, un motor elèctric fa girar un volant d'inèrcia. Per a conservar el moment cinètic, el satèlit es posa a girar en el sentit opost. Una volta en la bona orientació, basta parar el volant d'inèrcia, la qual cosa per al satèlit. També s'utilisa el volant d'inèrcia per a parar les chicotetes rotacions provocades pels menuts moments inevitables, com el produït pel vent solar.
• Algunes estreles es contrauen convertint-se en púlsar (estrela de neutrons). El seu diàmetro disminuïx fins a uns quilómetros, el seu moment d'inèrcia disminuïx i la seua velocitat de rotació aumenta enormement. S'han detectat pulsares en periodos rotació de tan sol uns milisegons.
• Per les mareas, la Lluna eixercix un moment sobre la Terra. Est disminuïx el moment cinètic de la Terra i, per la conservació del moment cinètic, el de la Lluna aumenta. En conseqüència, la Lluna aumenta la seua energia alluntant-se de la Terra i disminuint la seua velocitat de rotació (pero aumentant el seu moment cinètic). La Lluna s'allunta i els dies i els mesos llunars s'allarguen.

Eixemple

La massa gira tinguda per un fil que pot esgolar a través d'un tubito prim. Tirant del fil es canvia el radi de gir sense modificar el moment angular.

La massa gira tinguda per un fil que pot esgolar a través d'un tubito prim. Tirant del fil es canvia el radi de gir sense modificar el moment cinètic.

En el dibuix de la dreta tenim una massa que gira, tinguda per un fil de massa despreciable que passa per un tubito fi. Suponem el conjunt sense rozamientos i no tenim en conte la gravetat.

La força que el fil eixercix sobre la massa és radial i no pot eixercir un moment sobre la massa. Si tirem del fil, el radi de gir disminuirà. Com, en absència de moments externs, el moment cinètic es conserva, la velocitat de rotació de la massa deu aumentar.

Archiu:MomAng4.svg

Una tirada sobre el fil comunica una velocitat radial $\Delta V$ a la massa. La nova velocitat és la suma vectorial de la velocitat precedent i $\Delta V$

En el dibuix següent apareix la massa que gira en un radi $R_1$ en el moment en el qual es dona una tirada del fil. El terme correcte de el "tirada" física és un impuls, és dir una força aplicada durant un instant de temps. Eixe impuls comunica una velocitat radial $\Delta V$ a la massa. La nova velocitat serà la suma vectorial de la velocitat precedent $V$ en $\Delta V$. La direcció d'eixa nova velocitat no és tangencial, sino entrante. Quan la massa passa pel punt més pròxim del centre, a una distància $R_2$, cobrem el fil solt i la massa continuarà a girar en el nou radi $R_2$. En el dibuix, el triàngul groc i el triàngul rosat són semblants. La qual cosa nos permet escriure:

$\frac{V_2}{V_1}=\frac{R_1}{R_2}$

o siga:

$V_1{R}_1=V_2{R}_2$

I, si multipliquem per la massa $m$, obtenim que el moment cinètic s'ha conservat, com ho esperàvem:

$m{V}_1{R}_1=m{V}_2{R}_2$

Veem com el moment cinètic s'ha conservat: Per a reduir el radi de gir cal comunicar una velocitat radial, la qual aumenta la velocitat total de la massa.

També es pot fer l'experiment en l'atre sentit. Si se solta el fil, la massa seguix la tangente de la trayectòria i el seu moment cinètic no canvia. A un cert moment frenem el fil per a que el radi siga constant de nou. El fet de frenar el fil, comunica una velocitat radial (cap al centre) a la massa. Esta volta esta velocitat radial disminuïx la velocitat total i solament queda la component de la velocitat tangencial al fil en la posició en la qual li'l va frenar.

No és necessari fer l'experiència donant una tirada. Es pot fer de manera contínua, ya que la força que es fa recobrant i soltant fil pot descompondre's en una successió de menuts impulsos.

Moment cinètic en mecànica relativista

En mecànica newtoniana el moment cinètic és un pseudovector o vector axial, per lo que en mecànica relativista deu ser tractat com el dual de Hodge de les components espacials d'un tensor antisimètric. Una representació del moment cinètic en la teoria especial de la relativitat és per tant com cuadritensor antisimètric:

Pot vore's que els 3 components espacials formen el moment cinètic de la mecànica newtoniana $𝐋=(L_x,L_y,L_z)$ i el restant de components $(r_x,r_y,r_z)$ descriuen el moviment del centre de masses relativista.