Vector axial

Archiu:BIsAPseudovector.svg

Un bucle d'aram (negre), que transporta una corrent elèctrica I, crea un camp magnètic B (blava). Si la posició i la corrent del cable es reflectixen a través del pla indicat per la llínea discontínua, el camp magnètic resultant en l'image reflectida (tal com apareixeria en un espill) no seria el correcte, i d'acort en les lleis de la física deu invertir-se el seu sentit (tal com apareix representat). En conseqüència, la posició i la corrent en qualsevol punt del cable són vectores verdaders, pero el camp magnètic B és un pseudovector.

En física i matemàtiques, un vector axial o seudovector (també escrit com pseudovector) és una magnitut que es comporta com un vector en moltes situacions, pero la seua orientació no complix alguna de les regles de les transformacions euclídeas (com rotacions, translacions o reflexions), o tampoc ho fa en el cas de que es canvie l'orientació de l'espai. Per eixemple, el moment angular és un pseudovector perque a sovint es descriu com un vector, pero en solament canviar la posició de referència (modificant el vector de posició), el moment angular pot invertir el seu sentit, lo que no se supon que succeïxca en els vectores verdaders (també coneguts com vectores polars).

Un eixemple de seudovector és la normal a un pla orientat. Tenint en conte que un pla pot definir-se per mig de dos vectores no paralels a i b, el vector a × b és normal al pla (pero hi ha dos possibles normals, una a cada costat del pla, de manera que per mig de la regla de la mà dreta es determinarà quin s'elegix), per lo que és un seudovector. Açò té conseqüències en els gràfics per computadora, a on deu tindre's en conte esta circumstància quan es transformen les normals a les superfícies. En tres dimensions, el rotacional d'un camp vectorial polar en un punt i el producte vectorial de dos vectores polars també són seudovectores.

Vàries cantitats en física es comporten com seudovectores en lloc de vectores polars, inclosos el camp magnètic i la velocitat angular. En matemàtiques, en tres dimensions, els seudovectores són equivalents als bivectorés, d'a on es poden derivar les regles de transformació dels seudovectores. De manera més general, en àlgebra geomètrica de n dimensions, els seudovectores són els elements de l'àlgebra en dimensió n − 1, als que els correspon la notació ⋀ⁿ⁻¹Rⁿ. El prefix seudo es pot generalisar encara més per a descriure conceptes com seudoescalar o seudotensor, als que els correspon un canvi de signe adicional baix rotacions impròpies en comparació a un escalar o un tensor verdaders.

Eixemples en física

Els eixemples de seudovectores en física inclouen el moment d'una força, la velocitat angular, el moment angular, el camp magnètic, la vorticidad i el moment magnètic.

Archiu:Impulsmoment van autowiel onder inversie.svg

Cada roda de l'automòvil de l'esquerra que s'allunta d'un observador posseïx un moment angular (representat per un seudovector) que apunta cap a l'esquerra. Lo mateixa ocorre en l'image especular de l'automòvil. El fet de que les fleches apunten en la mateixa direcció, en lloc de ser imàgens especulares entre sí, indica que la magnitut es representa per mig d'un seudovector

Considere's el seudovector del moment angular L= Σ(r × p). Conduint en un automòvil i mirant cap a avant, cada una de les rodes té un vector de moment angular que apunta cap a l'esquerra. Si es reflectix en un espill que canvia el costat esquerre i el costat dret de l'automòvil, el reflex d'este vector de moment angular (vist com un vector ordinari) apunta cap a la dreta, pero l'àngul real del vector d'impuls de la roda (que encara gira cap a avant en el reflex) seguix apuntant cap a l'esquerra, segons correspon al signe adicional del gir en el reflex d'un seudovector.

La distinció entre vectores polars (o vectores verdaders) i seudovectores adquirix importància per a comprendre l'efecte de la simetria en l'anàlisis de sistemes físics. Considere's un bucle de corrent elèctrica en el pla z= 0, que en el seu interior genera un camp magnètic orientat en la direcció z. Este sistema és simètric (invariante) sobre reflexions especulares a través del pla dau, sense que el sentit del camp magnètic es veja afectat per la reflexió. Pero s'esperaria que en reflectir a través del pla donat el camp magnètic com un vector este quedaria invertit, circumstància que es corrig en donar-se conte de que el camp magnètic és un seudovector, al que un canvi de signe adicional permet mantindre en el sentit correcte.

En física, els pseudovectores són generalment el resultat de prendre el producte vectorial de dos vectores polars o el curl d'un camp de vector polar. El producte creuat i el rull es definixen, per convenció, segons la regla de la mà dreta, pero podrien haver-se definit en la mateixa facilitat en térmens de la regla de la mà esquerra. Tot el cos de física que tracta en pseudovectores (destres) i la regla de la mà dreta podria reemplaçar-se per mig de l'us de pseudovectores (esquerrers) i la regla de la mà esquerra sense problemes. Els pseudovectores (esquerres) aixina definits tindrien direcció oposta als definits per la regla de la mà dreta.

Si be les relacions vectorials en física es poden expressar sense coordenades, es requerix un sistema de coordenades per a expressar vectores i pseudovectores com a cantitats numèriques. Els vectores es representen com a triplets ordenats de números, com per eixemple $𝐚=(a_x,a_y,a_z)$ i els seudovectores també es representen d'esta forma. En transformar entre sistemes de coordenades de la mà esquerra i de la dreta, les representacions de seudovectores no es transformen com vectores, i tractar-les com a representacions vectorials provocarà un canvi de signe incorrecte, per lo que es deu anar en conte de realisar un seguiment de quins triplets ordenats representen vectores, i cuales representen seudovectores. Este problema no existix si el producte creuat de dos vectores es reemplaça pel producte exterior dels dos vectores, lo que produïx un bivector que és un tensor de segon ranc i està representat per una matriu de 3×3. Esta representació per mig d'un 2-tensor es transforma correctament entre dos sistemes de coordenades qualssevol, independentment de la seua lateralitat.

Detalls

Vore també: Covarianza i contravarianza i Vector

La definició de "vector" en física (inclosos tant els vectores polars com els seudovectores) és més específica que la definició matemàtica de "vector" (és dir, qualsevol element d'un espai vectorial abstracte). Segons la definició en física, es requerix que un "vector" tinga components que es "transformen" de certa manera baix un rotació pròpia. En particular, si tot en l'univers girara, el vector rotaría exactament de la mateixa manera (Eel sistema de coordenades està fix en esta discussió, o en atres paraules, esta és la perspectiva de les transformacions actives). Matemàticament, si tot en l'univers sofrix una rotació descrita per una matriu de rotació R, de modo que un vector de desplaçament x es transforma en x′= Rx, llavors qualsevol "vector" v deu transformar-se de manera similar en v′= Rv. Este important requisit és lo que distinguix a un vector (que podria estar compost, per eixemple, per les components x, i i z de la velocitat) de qualsevol atre triplet de cantitats físiques (per eixemple, la llongitut, l'ample i l'altura d'una caixa rectangular "no poden" considerar-se els tres components d'un vector, ya que en girar la caixa no es transformen pròpiament estes tres components).

En el llenguage de la geometria diferencial, este requisit equival a definir un vector com un tensor contravariante de ranc un. En este marc més general, els tensors de ranc superior també poden tindre arbitrariamente molts rancs covariants i contravariantes mixts al mateix temps, indicats per superíndexs i subíndexs segons el conveni de suma d'Einstein.

Un eixemple bàsic i prou concret és el dels vectores fila i columna baix l'habitual operador de la multiplicació de matrius. En un orde produïxen el producte escalar, que és simplement un escalar i, com a tal, un tensor de ranc zero, mentres que en l'atre orde produïxen el producte diàdic, que és una matriu que representa un tensor mixt de ranc dos, en un índex contravariante i un atre covariant. Com a tal, la no conmutatividad de l'àlgebra matricial estàndar es pot utilisar per a realisar un seguiment de la distinció entre vectores covariants i contravariantes. De fet, aixina és com es duya el seguiment de la disposició dels índexs ans que sorgira la notació tensorial més formal i generalisada, lo que encara es manifesta en cóm els vectores base dels espais tensoriales generals es mostren per a la seua manipulació pràctica.

La discussió fins ara solament es referix a rotacions pròpies, és dir, rotacions al voltant d'un eix. No obstant, també es poden considerar rotacions impròpies, és dir, un reflex especular possiblement seguit d'una rotació pròpia (un eixemple de rotació impròpia és la simetria central en l'espai tridimensional). Suponga's que tot en l'univers experimenta una rotació impròpia descrita per la matriu de rotació impròpia R, de modo que un vector de posició x és transformat en x′= Rx. Si el vector v' és un vector polar, es transformarà en v′= Rv; i si és un seudovector, es transformarà en v′= −Rv.

Les regles de transformació per a vectores polars i seudovectores es poden expressar de forma compacta com

$\begin{array}{cccc}{𝐯}^{\prime }& =R𝐯& & \text{(vector polar)}\\ {𝐯}^{\prime }& =(\det R)(R𝐯)& & \text{(seudovector)}\end{array}$

a on els símbols són els descrits anteriorment i la matriu de rotació R pot ser pròpia o impròpia. L'operador "det" indica el determinant de la matriu. Esta fòrmula funciona perque el determinant de les matrius de rotació pròpies i impròpies és respectivament +1 i −1.

Comportament respecte a suma, resta i multiplicació escalar

Suponga's que v₁ i v₂ són seudovectores coneguts, i v₃ es definix com la seua suma, v₃= v₁ + v₂. Si l'univers es transforma per mig d'una matriu de rotació R, llavors v₃ es transforma en

$\begin{array}{cc}{{𝐯}_{\mathrm{𝟑}}}^{\prime }={{𝐯}_{\mathrm{𝟏}}}^{\prime }+{{𝐯}_{\mathrm{𝟐}}}^{\prime }& =(\det R)(R{𝐯}_{\mathrm{𝟏}})+(\det R)(R{𝐯}_{\mathrm{𝟐}})\\ & =(\det R)(R({𝐯}_{\mathrm{𝟏}}+{𝐯}_{\mathrm{𝟐}}))=(\det R)(R{𝐯}_{\mathrm{𝟑}}).\end{array}$

Llavors v₃ també és un seudovector. De manera similar, es pot demostrar que la diferència entre dos seudovectores és un seudovector, que la suma o diferència de dos vectores polars és un vector polar, que en multiplicar un vector polar per qualsevol número real s'obté un atre vector polar, i que en multiplicar un seudovector per qualsevol número real es genera un atre seudovector.

Per un atre costat, suponga's que se sap que v₁ és un vector polar, se sap que v₂ és un seudovector i que v₃ es definix com la seua suma, v₃= v₁ + v₂. Si l'univers es transforma per mig d'una matriu de rotació impròpia R, llavors v₃ es transforma en

${{𝐯}_{\mathrm{𝟑}}}^{\prime }={{𝐯}_{\mathrm{𝟏}}}^{\prime }+{{𝐯}_{\mathrm{𝟐}}}^{\prime }=(R{𝐯}_{\mathrm{𝟏}})+(\det R)(R{𝐯}_{\mathrm{𝟐}})=R({𝐯}_{\mathrm{𝟏}}+(\det R){𝐯}_{\mathrm{𝟐}}).$

Per lo tant, v₃ no és un vector polar ni un seudovector (encara que seguix sent un vector, segons la definició física). Per a una rotació impròpia, v'₃ en general ni tan sols manté la mateixa magnitut:

$|{𝐯}_{\mathrm{𝟑}}|=|{𝐯}_{\mathrm{𝟏}}+{𝐯}_{\mathrm{𝟐}}|,\text{pero }\left|{{𝐯}_{\mathrm{𝟑}}}^{\prime }\right|=|{{𝐯}_{\mathrm{𝟏}}}^{\prime }-{{𝐯}_{\mathrm{𝟐}}}^{\prime }|$.

Si la magnitut de v₃ descriguera una cantitat física mesurable, açò significaria que les lleis de la física no semblarien les mateixes si l'univers es vera en un espill. De fet, açò és exactament lo que succeïx en en l'interacció dèbil: certes desintegracions radiactives cursen a "esquerra" i a "dreta" de manera diferent, un fenomen que pot atribuir-se a la suma d'un vector polar en un seudovector en la teoria subjacent (vore paritat).

Comportament baix productes creuats

Archiu:Uitwendig product onder inversie.svg

Baix inversió, els dos vectores canvien de signe, pero el seu producte vectorial és invariante [en negre es mostren els dos vectores originals, en gris es representen els dos vectores invertits, i en roig apareix el producte vectorial d'abdós configuracions]

Per a una matriu de rotació R, ya siga pròpia o impròpia, la següent equació matemàtica sempre és certa:

$(R{𝐯}_{\mathrm{𝟏}})\times (R{𝐯}_{\mathrm{𝟐}})=(\det R)(R({𝐯}_{\mathrm{𝟏}}\times {𝐯}_{\mathrm{𝟐}}))$,

a on v₁ i v₂ són vectores tridimensionals (esta equació es pot demostrar per mig d'un argument geomètric o per mig d'un càlcul algebraic).

Suponga's que v₁ i v₂ són vectores polars coneguts, i v₃ es definix com el seu producte creuat, v₃= v₁ × v₂. Si l'univers es transforma per mig d'una matriu de rotació R, llavors v₃ es transforma en

${{𝐯}_{\mathrm{𝟑}}}^{\prime }={{𝐯}_{\mathrm{𝟏}}}^{\prime }\times {{𝐯}_{\mathrm{𝟐}}}^{\prime }=(R{𝐯}_{\mathrm{𝟏}})\times (R{𝐯}_{\mathrm{𝟐}})=(\det R)(R({𝐯}_{\mathrm{𝟏}}\times {𝐯}_{\mathrm{𝟐}}))=(\det R)(R{𝐯}_{\mathrm{𝟑}}).$

Llavors v₃ és un seudovector. De manera similar, es pot demostrar que:

vector polar × vector polar = pseudovector

• pseudovector × pseudovector = pseudovector

vector polar × pseudovector = vector polar

• pseudovector × vector polar = vector polar

Estes regles són isomorfas a la suma de mòdul 2, a on "polar" correspon a 1 i "seudo" correspon a 0.

Eixemples

De la definició, queda clar que un vector de desplaçament és un vector polar. El vector velocitat és un vector de desplaçament (un vector polar) dividit pel temps (un escalar), per lo que també és un vector polar. De la mateixa manera, el vector moment és el vector velocitat (un vector polar) multiplicat per la massa (un escalar), i per lo tant és un vector polar. El moment angular és el producte creuat d'un desplaçament (un vector polar) i un moment (un vector polar) i, per lo tant, és un seudovector. El parell és el moment angular (un seudovector) dividit pel temps (un escalar), per lo que també és un seudovector. Procedint d'esta manera, és senzill classificar qualsevol dels vectores comuns empleats en física com seudovectores o vectores polars.

També existixen vectores que violen la paritat en la teoria de les interaccions dèbils, que no són ni vectores polars ni pseudovectores, encara que este tipo de vectores apareixen molt rarament en la física.

La regla de la mà dreta

Anteriorment, s'han analisat els seudovectores utilisant transformacions actives. Un enfocament alternatiu, més semblat a les transformacions passives, és mantindre l'univers fix, pero canviar la "regla de la mà dreta" per la "regla de la mà esquerra" tant en les expressions matemàtiques com en les lleis de la física, inclús en la definició de producte vectorial i de rotacional. Qualsevol vector polar (per eixemple, un vector de translació) no canviaria, pero els seudovectores (per eixemple, el vector del camp magnètic en un punt) canviarien de signe. No obstant, no hi hauria conseqüències físiques, llevat en els fenomens de violació de paritat, com en certs fenomens de la radiactivitat.

Formalisació

Una manera de formalisar seudovectores és la següent: si V és un espai vectorial n-dimensional, llavors un seudovector de V és un element de la (n' ' − 1)-ésima potència exterior de V: ⋀n−1(V). Els seudovectores de V formen un espai vectorial en la mateixa dimensió que V.

Esta definició no és equivalent a la que requerix un canvi de signe en les rotacions impròpies, pero és general per a tots els espais vectorials. En particular, quan n és parell, dit seudovector no experimenta un canvi de signe, i quan la característica del cos subjacent de V és 2, un canvi de signe no té cap efecte. De lo contrari, les definicions són equivalents, encara que es deu tindre en conte que sense una estructura adicional (específicament, ya siga la forma de volum o l'orientació), no existix una identificació natural de ⋀ⁿ⁻¹(V) en V.

Una atra manera de formalisar-los és considerant-los com a elements d'un espai de representació para $\text{O}(n)$. Els vectores es transformen en la representació fonamental de $\text{O}(n)$ en senyes donades per $({ℝ}^n,{\rho }_{\text{fund}},\text{O}(n))$, de modo que per a qualsevol matriu $R$ en $\text{O}(n)$, es té que ${\rho }_{\text{fund}}(R)=R$. Els seudovectores es transformen en una representació seudofundamental $({ℝ}^n,{\rho }_{\text{pseudo}},\text{O}(n))$, en ${\rho }_{\text{pseudo}}(R)=\det (R)R$. Una atra forma de vore este homomorfisme impar per a $n$ és que en este cas $\text{O}(n)\cong \text{SO}(n)\times {\mathbb{Z}}_2$. Llavors, ${\rho }_{\text{pseudo}}$ és un producte directe d'homomorfismes de grup; en concret és el producte directe de l'homomorfisme fonamental en $\text{SO}(n)$ en l'homomorfisme trivial en ${\mathbb{Z}}_2$.

Àlgebra geomètrica

En àlgebra geomètrica els elements bàsics són vectores, i estos s'usen per a construir una jerarquia d'elements usant les definicions de productes en esta àlgebra. En particular, l'àlgebra construïx seudovectores a partir de vectores.

La multiplicació bàsica en àlgebra geomètrica és el producte geomètric, denotat simplement yuxtaponent dos vectores com en ab. Este producte s'expressa com:

$𝐚𝐛=𝐚\mathbf{\cdot }𝐛+𝐚\mathbf{\wedge }𝐛,$

a on el primer terme és el producte escalar de vectores habitual, i el segon terme es diu producte de falca o producte exterior. Utilisant els postulats de l'àlgebra, es poden evaluar totes les combinacions de productes escalar i exterior, i existix una terminologia per a descriure les diverses combinacions. Per eixemple, un multivector és una suma de k productes exteriors de varis k-valores. Un producte exterior de multiplicitat k també es denomina k-cuchilla.

En el context actual, un "seudovector" és una d'estes combinacions. Este terme s'adjunta a un multivector diferent depenent de les dimensions de l'espai en el que es treballa (és dir, el màxim número de vectores independentment llineals en l'espai). En tres dimensions, el bivector o 2-cuchilla més general es pot expressar com el producte exterior de dos vectores, i és un seudovector. En quatre dimensions, no obstant, els seudovectores són trivectores. En general, és una (n − 1)-cuchilla, a on n és la dimensió de l'espai i de l'àlgebra. Un espai de n dimensions té bases de n vectores i també de n seudovectores. Cada seudovector d'una base es forma a partir del producte exterior de tots menys un dels n vectores d'una base. Per eixemple, en quatre dimensions, a on els vectores d'una base es denoten per {i₁, i₂, i₃, i₄}, els seudovectores es poden escriure com: {i₂₃₄, i₁₃₄, i₁₂₄, i₁₂₃}.

Transformacions en tres dimensions

Baylis ha comparat les propietats de transformació dels seudovectores en tres dimensions en les del producte vectorial, i va comentar al respecte que: "Els térmens vector axial i seudovector a sovint es tracten com a sinònims, pero és molt útil poder distinguir un bivector del seu dual." Parafraseando a Baylis: Daus dos vectores polars (és dir, vectores verdaders) a i b en tres dimensions, el producte creuat compost per a i b és el vector normal al seu pla donat per c= a × b Donat un conjunt de vectores d'una base ortonormals ordenats a dretes {i_ℓ }, el producte creuat s'expressa en térmens dels seus components com:

$𝐚\times 𝐛=(a^2{b}^3-a^3{b}^2){𝐞}_1+(a^3{b}^1-a^1{b}^3){𝐞}_2+(a^1{b}^2-a^2{b}^1){𝐞}_3,$

a on els superíndexs etiqueten els components del vector. Per un atre costat, el pla dels dos vectores està representat pel producte exterior, denotat per a ∧ b. En este context de l'àlgebra geomètrica, este bivector es diu seudovector i és el dual de Hodge del producte vectorial. El dual de i₁ s'introduïx com i₂₃ ≡ i₂i₃ = i₂ ∧ i₃, i aixina successivament. És dir, el dual de i₁ és el subespacio perpendicular a i₁, és dir, el subespacio comprés per i₂ i i₃. En esta disposició,

$𝐚\wedge 𝐛=(a^2{b}^3-a^3{b}^2){𝐞}_{23}+(a^3{b}^1-a^1{b}^3){𝐞}_{31}+(a^1{b}^2-a^2{b}^1){𝐞}_{12}.$

Per a obtindre més informació, consulte's la secció Tres dimensions. El producte creuat i el producte exterior estan relacionats per:

$𝐚\wedge 𝐛=𝑖𝐚\times 𝐛,$

a on i = i₁ ∧ i₂ ∧ i₃ es denomina seudoscalar unitari. Té la propietat de que:

${𝑖}^2=-1.$

Utilisant les relacions anteriors, es veu que si els vectores a i b s'invertixen canviant els signes dels seus components i deixant fixos els vectores de la base, tant el seudovector com el producte vectorial són invariantes. Per un atre costat, si els components són fixos i els vectores de la base i_ℓ estan invertits, llavors el pseudovector és invariante, pero el producte vectorial canvia de signe. Este comportament dels productes creuats és consistent en la seua definició com a elements similars a vectores que canvien de signe en transformar-se d'un sistema de coordenades orientat a la dreta a un orientat a l'esquerra, a diferència de lo que succeïx en els vectores polars.

Nota sobre el seu us

Ademés, cal senyalar que no tots els autors en el camp de l'àlgebra geomètrica utilisen el terme seudovector, i alguns autors seguixen la terminologia que no distinguix entre seudovector i producte vectorial. No obstant, degut a que el producte vectorial no es generalisa a atres dimensions que no siguen les tres dimensions, la noció de pseudovector basada en el producte vectorial tampoc pot estendre's a un espai de qualsevol atre número de dimensions. El seudovector com (n – 1) cuchilla en un espai de n dimensions no està restringit d'esta manera.

Una atra nota important és que els seudovectores, a pesar del seu nom, són "vectores" en el sentit de ser elements d'un espai vectorial. L'idea de que "un pseudovector és diferent d'un vector" solament és certa en una definició diferent i més específica del terme "vector", tal i com es va analisar anteriorment.