Transformació activa i passiva

Archiu:PassiveActive. caps block 0

En la transformació activa (esquerra), un punt es mou des de la posició P a P' girant-ho cap a la dreta en un àngul θ sobre l'orige del sistema de coordenades. En la transformació passiva (a la dreta), el punt P no es mou, mentres que el sistema de coordenades gira cap a l'esquerra en un àngul θ sobre el seu orige. Les coordenades de P' en el cas actiu (és dir, en relació en el sistema de coordenades original) són les mateixes que les coordenades de P en relació en el sistema de coordenades girat.

En física i ingenieria, una transformació activa o transformació coartada, és una transformació que en realitat canvia la posició física d'un punt, o cos rígit, que es pot definir inclús en l'absència d'un sistema de coordenades; mentres que una transformació passiva o transformació àlies, no és més que un canvi en el sistema de coordenades en el que l'objecte es descriu (canvi de coordenades del mapa, o canvi de base). De manera predeterminada, per transformació, els matemàtics per lo general es referixen a transformacions actives, mentres que els físics i ingeniers usen abdós.

Dit d'una atra manera, una transformació passiva es referix a la descripció de el "mateix objecte" en dos sistemes de coordenades diferents. Per un atre costat, una transformació activa és una transformació d'un o varis objectes sobre el mateix sistema de coordenades. Per eixemple, les transformacions actives són útils per a descriure les posicions successives d'un cos rígit. Les transformacions passives poden ser útils en anàlisis de moviment humà per a observar el moviment de la tébea en relació en el fèmur, és dir, el seu moviment sobre un sistema de coordenades (local) que es mou junt en el fèmur, en lloc d'un sistema (global) de coordenades que es fixa al sol.

Eixemple

Transformació passiva (àlies) i transformació activa (coartada).

Transformacions de translacions i rotacions passiva (àlies) o activa (alibi).

A modo d'eixemple, en l'espai vectorial ℝ² , siga { i₁ , i₂ } una base, i considerar el vector v = v¹ i₁ + v ² i₂ . La rotació del vector a través de θ àngul ve donada per la matriu de rotació:

$R=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right),$

que es pot vore ya siga com una transformació activa o una transformació passiva (en la que s'invertix la matriu anterior), com es descriu a continuació.

Transformació activa

Com una transformació activa, R fa girar el vector inicial v, i s'obté un nou vector v'. Per a una rotació en sentit antihorario de v sobre el sistema de coordenades fix:

${\overrightarrow{v}}^{\prime }=R\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}^1\\ v^2\end{array}\right).$

Si un veu {R i₁ , R i₂ } com una nova base, llavors les coordenades del nou vector v' en la base nova són les mateixes que les de v en la base original. Deu tindre's en conte que les transformacions actives tenen sentit, inclús com una transformació llineal en un espai vectorial diferent. Té sentit per a escriure el nou vector en la base sense imprimación (com anteriorment) solament quan la transformació és des de l'espai en sí mateixa.

Transformació passiva

Per un atre costat, quan es veu R com una transformació passiva, el vector inicial v es deixa sense canvis, mentres que el sistema de coordenades i les seues vectores base es giren. En la finalitat de que el vector es mantinga fix, les coordenades en térmens de la nova base deuen canviar. Per a un gir cap a l'esquerra dels sistemes de coordenades:

$𝐯=v^a{𝐞}_a=v{\text{'}}^{a}R{𝐞}_a.$

D'esta equació es veu que les noves coordenades (és dir, les coordenades sobre la nova base) són donades per

$v{\text{'}}^a=(R^{-1}{)}_b^a{v}^b$

aixina que açò es pot escriure com

$𝐯=v{\text{'}}^a𝐞{\text{'}}_a=v^b(R^{-1}{)}_b^a{R}_a^c{𝐞}_c=v^b{\delta }_b^c{𝐞}_c=v^b{𝐞}_b.$

Per lo tant, per a que el vector es mantinga sense canvis per la transformació passiva, les coordenades del vector deuen transformar-se d'acort en l'inversa de l'operador de transformació activa.