Teoria de representació

La teoria de la representació estudia com les estructures algebraiques "actuen" sobre objectes. Un eixemple simple és com les #simetria dels polígons regulars, consistents en reflexions i rotacions, transformen el polígon.

La teoria de la representació és una branca de les matemàtiques que estudia estructures algebraiques per mig de la seua representació dels seus elements com transformacions llineals d'espais vectorials, i estudia mòduls sobre estes estructures algebraiques abstractes. En essència, una representació fa que un objecte algebraic abstracte siga més concret en descriure els seus elements per mig de matrius i les seues operacions algebraiques (per eixemple, suma de matrius, multiplicació de matrius). La teoria de matrius i operadors llineals es comprén be, per lo que les representacions d'objectes més abstractes en térmens d'objectes familiars d'àlgebra llineal ajuden a obtindre propietats i, a voltes, simplifiquen els càlculs en teories més abstractes.

Els objectes algebraics susceptibles de tal descripció inclouen grups, #àlgebra associatives i #àlgebra de Lie. El més destacat d'ells (i històricament el primer) és la teoria de la representació de grups, en la que els elements d'un grup estan representats per matrius invertibles de tal manera que l'operació de grup és la multiplicació de matrius.

La teoria de la representació és un método útil perque reduïx els problemes d'àlgebra abstracta a problemes d'àlgebra llineal, un tema que es comprén be. Ademés, l'espai vectorial en el que es representa un grup (per eixemple) pot ser de dimensió infinita i, en permetre que siga, per eixemple, un espai de Hilbert, els métodos d'anàlisis es poden aplicar a la teoria de grups. La teoria de la representació també és important en física perque, per eixemple, descriu cóm el grup de simetria d'un sistema físic afecta les solucions d'equacions que descriuen eixe sistema.

La teoria de la representació és omnipresent en tots els camps de les matemàtiques per dos raons. Primer, les aplicacions de la teoria de la representació són diverses: ademés del seu impacte en l'àlgebra, la teoria de la representació:

• allumena i generalisa l'anàlisis de Fourier a través del anàlisis harmònic,
• està conectada a la geometria a través de la teoria invariante i el programa Erlangen,

• té un impacte en la teoria de números a través de formes automórficas i el programa Langlands.

En segon lloc, existixen diversos enfocaments de la teoria de la representació. Els mateixos objectes poden ser estudiats utilisant métodos de la geometria algebraica, teoria de mòduls, la teoria analítica de números, la geometria diferencial, teoria d'operadors, combinatoria algebraica i topología.

L'èxit de la teoria de la representació ha donat lloc a numeroses generalisacions. Un dels més generals és el de la teoria de categories. Els objectes algebraics als que s'aplica la teoria de la representació poden vore's com a tipos particulars de categories, i les representacions com functores de la categoria d'objecte a la categoria d'espais vectorials. Esta descripció apunta a dos generalisacions òbvies: primer, els objectes algebraics poden ser reemplaçats per categories més generals; en segon lloc, la categoria objectiu d'espais vectorials pot ser reemplaçada per atres categories ben enteses.

Branques i temes

La teoria de la representació destaca pel número de branques que té i la diversitat d'enfocaments per a estudiar les representacions de grups i #àlgebra. Encara que totes les teories tenen en comuna els conceptes bàsics ya discutits, diferixen considerablement en els detalls. Les diferències són a lo manco tres:

• La teoria de la representació depén del tipo d'objecte algebraic que es representa. Hi ha vàries classes diferents de grups, #àlgebra associatives i #àlgebra de Lie, i totes les seues teories de representació tenen un sabor individual.
• La teoria de la representació depén de la naturalea de l'espai vectorial en el que es representa l'objecte algebraic. La distinció més important és entre les representacions de dimensió finita i les de dimensió infinita. En el cas de dimensió infinita, les estructures adicionals són importants (per eixemple, si l'espai és un espai de Hilbert, un espai de Banach, etc.). També es poden impondre estructures algebraiques adicionals en el cas de dimensió finita.
• La teoria de la representació depén del tipo de camp sobre el que es definix l'espai vectorial. Els casos més importants són el camp dels número complex, el camp dels número real, els camps finitos i els camps dels números p-ádicos. Sorgixen dificultats adicionals per a camps de característica positiva i per a camps que no estan tancats algebraicament.

Definicions i conceptes

Siga V un espai vectorial en el camp F. Per eixemple, suponent que V és Rⁿ o Cⁿ, l'espai n-dimensional estàndart de vectores columna en els números reals o complexos, respectivament. En este cas, l'idea de la teoria de la representació és fer concreta al àlgebra abstracta utilisant n &voltes; n matrius de número real o complexos.

Existixen tres tipos d'objectes algebraics sobre els quals es pot realisar açò: grup, #àlgebra associatives i #àlgebra de Lie.

• El conjunt de totes les n matrius invertibles n &voltes és un grup sobre la multiplicació de matriu, i la teoria de representació de grups analisa un grup per mig de la descripció ("representació") dels seus elements en funció de les seues matrius invertibles.
• La suma i multiplicació de matrius formen un grup de totes les n matrius n voltes en un àlgebra associativa, i per lo tant existix una teoria de representació de #àlgebra associatives corresponent.

• Si es reemplaça la multiplicació de matriu MN pel commutador de matriu MN − NM, llavors les n &voltes; n matrius es convertixen en un àlgebra de Lie, conduint a una teoria de representació de #àlgebra de Lie.

Això és generalisable a tot camp F i tot espai vectorial V en F, en mapes llineals reemplaçant a les matrius i composició reemplaçant a la multiplicació de matriu: existix un grup GL(V,F) d'automorfismes de V, un àlgebra associativa End_F(V) de tots els endomorfismes de V, i un àlgebra de Lie corresponent gl(V,F).

Definició

Existixen dos maneres d'expressar que és una representació. El primer utilisa l'idea d'una acció, generalisant la manera en que les matrius actuen sobre vectores columna per multiplicació de matriu. Una representació d'un grup G o (associatiu o Lie) àlgebra A sobre un espai vectorial V és un mapa

$\Phi :G\times V\to V\text{or}\Phi :A\times V\to V$

en dos propietats. Primer, per a tot g en G (o a en A), el mapa

$\begin{array}{cc}\Phi (g):V& \to V\\ v& \mapsto \Phi (g,v)\end{array}$

és llineal (sobre F). Segon, si s'introduïx la notació g · v per a $\Phi$ (g, v), llavors per a tot g₁, g₂ en G i v en V:

$(1)e\cdot v=v$

$(2)g_1\cdot (g_2\cdot v)=(g_1{g}_2)\cdot v$

a on i és l'element identitat de G i g₁g₂ és el producte en G. El requeriment per a #àlgebra associatives és anàlec, excepto que les #àlgebra associatives no sempre tenen un element identitat, en el cas de la qual l'equació (1) és ignorada. L'Equació (2) és una expressió abstracta de la asociatividad de la multiplicació de matriu. Açò no és cert per al cas del commutador de matriu i ademés no existix element identitat per al commutador. Per lo tant per a #àlgebra de Lie, l'únic requeriment és que para tot x₁, x₂ en A i v en V:

$(2^{\prime })x_1\cdot (x_2\cdot v)-x_2\cdot (x_1\cdot v)=[x_1,x_2]\cdot v$

a on [x₁, x₂] és el corchete de Lie, que generalisa el commutador de matriu MN − NM.

Bibliografia

• (1986).«Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups».Cambridge University Press..
• (1947).«Irreducible unitary representations of the Lorenz group».Annals of Mathematics.48(3)

568–640.doi:10.2307/1969129..

• (2001).«Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups».American Mathematical Society..
• (1979).«Automorphic Forms, Representations, and L-functions».American Mathematical Society..

• (1962).«Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras».John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore)..
• (1984).«An Elementary Introduction to the Langlands Program».Bulletin of the American Mathematical Society.10(2)

177–219.doi:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6..

• (1995).«A Course in Abstract Harmonic Analysis».CRC Press..
• Plantilla:Fulton-Harris.
• (1998).«Representations and Invariants of the Classical Groups».Cambridge University Press..
• (1993).«Representations and Characters of Finite Groups».Cambridge University Press.Cambridge:.
• (2015).«Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction».Springer.222
• (1978).«Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces».Academic Press.
• (1972a).«Introduction to Lie Algebras and Representation Theory».Birkhäuser..
• (1972b).«Linear Algebraic Groups».Springer-Verlag.Berlin, New York:21
• (2003).«Representations of Algebraic Groups».American Mathematical Society..
• (1977).«Lie superalgebras».Advances in Mathematics.26(1)

8–96.doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2..

• (1990).«Infinite Dimensional Lie Algebras».Cambridge University Press..
• (2001).«Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples».Princeton University Press..
• (1999).«Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals».Cambridge University Press..
• (1997).«Linear Algebra and Geometry».Taylor & Francis..
• (1998).«Representations of finite groups: a hundred years».Notices of the AMS.45(3,4)

361–372 (Part I), 465–474 (Part II)..

• Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
• (1994).«Geometric invariant theory».Springer-Verlag.Berlin, New York:34; Plantilla:MathSciNet (2nd ed.); Plantilla:MathSciNet(3rd ed.)

• (1999).«Classical invariant theory».Cambridge University Press.Cambridge:.
• (1927).«Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe».Mathematische Annalen.97(1)

737–755.doi:10.1007/BF01447892..

• (1934).«The theory of topological commutative groups».Annals of Mathematics.35(2)

361–388.doi:10.2307/1968438..

• (1989).«Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups».American Mathematical Society..
• (1977).«Linear Representations of Finite Groups».Springer-Verlag..
• (1997).«Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program».Springer..
• (2007).«Elements of the Representation Theory of Associative Algebras».Cambridge University Press..
• (1994).«Group Theory and Physics».Cambridge University Press..
• Tung, Wu-Ki (1985). Group Theory in Physics, 1st edició, New Jersey·London·Singapore·Hong Kong: World Scientific. ISBN 978-9971966577.
• (1928).«Gruppentheorie und Quantenmechanik».S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover)..
• (1946).«The Classical Groups: Their Invariants and Representations».Princeton University Press (reprinted 1997)..
• (1939).«On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group».Annals of Mathematics.40(1)

149–204.doi:10.2307/1968551..