Teoria analítica de números

En l'àmbit de les matemàtiques, la teoria analítica de números és una branca de la teoria de números que utilisa métodos del anàlisis matemàtic per a resoldre problemes sobre els número entero. A sovint es diu que va començar en l'introducció de Dirichlet de les funcions L de Dirichlet per a presentar la primera demostració del Teorema de Dirichlet sobre les progressions aritmètiques. Una atra fita important en este tema és el teorema dels número primo.

Ramos de la teoria analítica de números

La teoria analítica de números es pot dividir en dos parts principals, que s'associen més al tipo de problemes que intenten resoldre que a diferències fonamentals en les seues tècniques:

• La teoria multiplicativa de números tracta sobre la distribució dels número primo, com per eixemple estimar la cantitat d'número primo que es presenten en un interval, i inclou la teorema dels número primo i la teorema de Dirichlet sobre els cosins en les progressions aritmètiques.
• La teoria aditiva de números tracta sobre l'estructura aditiva dels sancers, tals com la conjectura de Goldbach que establix que tot número par major que dos és la suma de dos cosins. Uns dels resultats importants de la teoria aditiva de números és la solució del problema de Waring.

Els desenrolls en la teoria analítica de números a sovint són refinament de tècniques existents, que reduïxen els térmens d'error i amplien el seu aplicabilidad. Per eixemple, el método del círcul d'Hardy i Littlewood que va ser desenrollat per a aplicar-ho a una série de potències prop del círcul unitari en el pla complex; actualment es concep com a funció de sumes exponencials finitas (dins del círcul unitari, pero en les séries de potències truncades). Les necessitats de l'aproximació diofantina de funcions auxiliars que no són funcions generatrices – els seus coeficients són obtinguts utilisant el Principi del colomer (o de Dirichlet)– i comprén a vàries variables complexes. Els camps de l'aproximació diofantina i la teoria transcendent s'han estés, al punt que les tècniques s'han aplicat a la conjectura de Mordell.

El major canvi a nivell tècnic posterior a 1950 ha segut el desenroll dels métodos d'erejat com a ferramenta, particularment útil en problemes multiplicativos. Estos són de naturalea combinatòria, i sumament variats. La branca extrema de la teoria combinatòria ha segut a la seua volta molt influïda pel valor donat a la teoria analítica de números per a establir cotes superiors i inferiors. Un atre desenroll recent és la teoria provabilística de números, que utilisa ferramentes de la teoria de la provabilitat per a estimar la distribució de funcions teòriques de números, tals com a quants divisores cosins posseïx un número.

Un dels desenrolls recents en este camp és la demostració de Green i Tao sobre l'existència de progressions aritmètiques arbitrariamente llargues en els cosins.

Problemes i resultats en la teoria analítica de números

The Rieman Zeta Function ζ(s) represented in a rectangular region of the complex plane. It is generated as a matplotlib plot using a version of the Domain coloring method [1]

Les teoremes i resultats més importants de la teoria analítica de números no solen ser resultats estructurals exactes sobre els sancers, per als quals les ferramentes algebraiques i geomètriques són més apropiades. En canvi, els mateixos són sumament bons per a proveir cotes aproximades i estimats de vàries funcions de teoria de números, tal com s'ilustra en els següents eixemples.

Teoria multiplicativa de números

El Teorema dels número primo és provablement un dels resultats més famosos i interessants de la teoria analítica de números. Euclides va demostrar que existix un número infinit de cosins, pero resulta molt difícil trobar un método eficient per a determinar si un número és primer o no, especialment en el cas d'número primo molt grans. Un problema relacionat encara que més simple és determinar la distribució asintòtica dels número primo; o siga, una descripció grossa de quants primers és d'esperar existixquen menors que un cert número. Gauss, després d'identificar una llarga llista de cosins, conjeturó que el número de cosins menors o iguals que un número N gran és molt pròxim al valor de la següent integral

En 1859 Bernhard Riemann va utilisar anàlisis complex i una funció especial meromorfa actualment coneguda com funció zeta de Riemann per a obtindre una expressió analítica per als número primo menors o iguals que un número real x. En forma notable, el terme principal de la fòrmula de Riemann era exactament l'integral indicada prèviament, la qual cosa va contribuir a aumentar la sospita sobre la validea de la conjectura de Gauss. Riemann va descobrir que els térmens d'error en esta expressió i, per lo tant la forma en que els cosins es troben distribuïts, estan estretament relacionats en els zeros complexos de la funció zeta. Utilisant les idees de Riemann i obtenint informació adicional sobre els zeros de la funció zeta, Jacques Hadamard i Charles Jean de la Vallée-Poussin varen tindre èxit en completar la demostració de la conjectura de Gauss. En particular, ells varen demostrar que si π(x) = { número de primers ≤ x } llavors

Este resultat notable és lo que actualment es coneix com la Teorema dels número primo. En térmens simples, el mateix establix que donat un número N gran, el número de cosins menors o iguals a N és aproximadament N/log(N).

D'una manera més general, es pot formular la mateixa pregunta sobre la cantitat d'número primo en qualsevol progressió aritmètica a+nq per a qualsevol sancer n. En la que va anar una de les primeres aplicacions de les tècniques analítiques a la teoria de números, Dirichlet va demostrar que tota progressió aritmètica en a i q coprimos conté un número infinit de cosins. La teorema dels número primo pot generalisar-se per a este problema; si π(x,a,q) = { número de primers ≤ x tal que p es troba en la progressió aritmètica a+nq}, llavors si a i q són coprimos,

També existix una gran cantitat de conjectura complexes i àmplies en la teoria de números les demostracions dels quals semblarien ser massa difícils per a les tècniques disponibles actualment, tal com la conjectura dels primers bessons que es pregunta si existix un número infinit de primers p tals que p + 2 és primer. Suponent la validea de la conjectura de Elliott-Halberstam recentment s'ha demostrat (per Daniel Goldston, János Pintz, Cem Iıldırım) que existix un número infinit de primers p tals que p + k és primer per a un número par positiu k menor que 16.

Teoria aditiva de números

Un dels problemes més importants en la teoria aditiva de números és el problema de Waring, que pregunta si és possible, per a qualsevol k ≥ 2, escriure qualsevol número entero positiu com la suma d'un número acotat de les potencies k^iésimas,

El cas dels quadrats, k = 2, lo va resoldre Lagrange en 1770, que va demostrar que tot número entero positiu és la suma de com a molt quatre quadrats. El cas general ho va demostrar Hilbert en 1909, utilisant tècniques algebraiques que no varen brindar cotes explícites. Un alvanç molt important va ser l'us de tècniques analítiques per a atacar el problema que varen desenrollar Hardy i Littlewood. Estes tècniques són el denominat método del círcul, i dona cotes superiors explícites de la funció G(k), el menor número de potències k^ésimas necessàries, tal com la cota de Vinogradov

$G(k)\le k(3\log k+11).$

Problemes diofantinos

Els problemes diofantinos tracten sobre les solucions sanceres a equacions polinòmiques, i especialment quantes solucions és esperable trobar dins d'un cert interval.

Un dels eixemples més importants és el problema del círcul de Gauss, que busca punts sancers del tipo (x i) que satisfan

En térmens geomètrics, donat un círcul centrat en l'orige en el pla de ràdio r, el problema es pregunta quants punts d'una retícula els vèrtiços de la qual siguen número entero es troben sobre o dins del círcul. No és difícil demostrar que la resposta és $\pi r^2+E(r)$, a on $E(r)/r^2\to 0$ quan $r\to \mathrm{\infty }$. Novament, la part difícil i el gran guany de la teoria analítica de números és obtindre cotes superiors específiques del terme error I(r).

Gauss va demostrar que $E(r)=O(r)$. En general, un terme error del tipo O(r) és possible en el círcul unitari (o, més apropiadament, el disc unitari tancat) reemplaçat pels dilates de qualsevol regió plana acotada en una frontera suau de trossos. Més encara, si es reemplaça el círcul unitari pel quadrat unitari, el terme error del problema general pot ser tan gran com una funció llineal de  r. Per lo tant una cota de l'error del tipo $O(r^{\delta })$ per a algun $\delta <1$ en el cas del círcul és una millora considerable. Sierpiński en 1906 va ser el primer que va aplegar a este resultat, i va demostrar que $E(r)=O(r^{2/3})$. En 1915, Hardy i Landau varen demostrar (cada u en forma independent) que no es té $E(r)=O(r^{1/2})$. Des de llavors l'objectiu ha segut demostrar que per a cada $ϵ>0$ fix existix un número real $C(ϵ)$ tal que $E(r)\le C(ϵ)r^{1/2+ϵ}$.

En el 2000 Huxley va demostrar que $E(r)=O(r^{131/208})$, el qual és el millor resultat que haja segut publicat.

Métodos de la teoria analítica de números

Séries de Dirichlet

Artícul principal → Série de Dirichlet.

Una de les ferramentes més poderoses de la teoria multiplicativa de números són les séries de Dirichlet, que són funcions d'una variable complexa definides per una série infinita:

Depenent del valor dels coeficients $a_n$, esta série pot convergir en tot el domini, en cap punt, o en una porció del pla. En molts casos, aun cuando la série no convergix en cap punt, la funció holomórfica que definix pot ser estesa analíticamente a una funció meromórfica en tot el pla complex. L'utilitat de funcions com esta en els problemes multiplicativos es pot comprendre a partir de la següent identitat formal

per lo tant, els coeficients del producte de dos séries de Dirichlet séries en convoluciones multiplicativas dels coeficients originals.

Més encara, es poden utilisar tècniques tals com les sumes parcials i els teoremes tauberianos per a obtindre informació sobre els coeficients a partir d'informació analítica sobre les séries de Dirichlet. Per lo tant un método usual per a estimar una funció multiplicativa és expressar-la com una série de Dirichlet (o un producte de séries de Dirichlet més simples utilisant identitats de convolución), examinar esta série com una funció complexa i després convertir esta informació analítica en informació sobre la funció original.

La funció zeta de Riemann

Representació de la funció zeta de Riemann ζ(s) en el pla complex. El color en cada punt s representa el valor de ζ(s): els colors forts signifiquen valors pròxims a zero. El sector blanc per a s = 1 és el pol de la funció zeta; els punts negres en la part negativa de l'eix real i sobre la llínea crítica Re(s) = 1/2 són les seues zeros. Els valors positius reals són mostrats en color roig.

Artícul principal → Funció zeta de Riemann.

Euler va descobrir que

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\prod _p^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-p^{-s}}\text{ con }s>1$

a on p és un número primo.

La demostració de Euler de l'infinitat d'número primo fa us de la divergència del terme en el llaç esquerre per a s = 1 (l'anomenada série harmònica), un resultat purament analític. Euler també va ser el primer en usar arguments analítics en el propòsit d'estudiar les propietats dels sancers, específicament construint séries de potències generadores. Est va ser el començ de la teoria dels números analítics.

Riemann va analisar esta funció per a valors complexos de s i va mostrar que esta funció pot ser estesa a una funció meromórfica en tot el pla en un pol simple en s = 1. Esta funció és denominada la funció Zeta de Riemann i li la representa com ζ(s). Existix abundant lliteratura sobre esta funció i la funció és un cas especial de les funcions L de Dirichlet. El llibre d'Edwards, The Riemann Zeta Function és una bona font per a estudiar la funció ya que Edwards analisa en detalle l'escrit original de Riemann i utilisa tècniques bàsiques de primer i segon any de l'universitat. Una comprensió bàsica del anàlisis complex i anàlisis de Fourier cal per a esta llectura.

Els estudiosos teòrics de la teoria dels números a sovint s'interessen en conéixer l'error de les aproximacions talaes com la teorema de l'número primo. En este cas, l'error és menor que x/log x. La fòrmula de Riemann para π(x) mostra que el terme error en esta aproximació pot ser expressat en funció dels zeros de la funció zeta. En el seu treball datat en 1859, Riemann va fer la conjectura que tots els zeros "no-trivials" de ζ es troben ubicats sobre la llínea $\mathrm{\Re }(s)=1/2$ pero mai va presentar una demostració d'esta asseveració. Esta famosa i perdurable conjectura li la coneix pel nom de la Hipòtesis de Riemann i té numeroses implicancias de fuste en la teoria dels números; en efecte, numeroses teoremes de rellevància han segut demostrats considerant el cas que l'hipòtesis fòra verdadera. Per eixemple d'acort en l'Hipòtesis de Riemann, el terme error en la teorema de l'número primo és $O(x^{1/2+\epsilon })$.

Bibliografia

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3

• Ayoub, Introduction to the Analytic Theory of Numbers
• H. L. Montgomery and R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I : Classical Theory
• H. Iwaniec and E. Kowalski, Analytic Number Theory.
• D. J. Newman, Analytic number theory, Springer, 1998
• H. Halberstam and H. E. Richert, Sieve Methods
• R. C. Vaughan, The Hardy-Littlewood method, 2nd. edn.