Problema del círcul de Gauss

Un círcul de radi 5 centrat en l'orige conté 81 punts en coordenades sanceres.

En matemàtiques, el problema del círcul de Gauss tracta de determinar quànts punts reticulars hi ha en un círcul centrat en l'orige i en ràdio r. El primer progrés realisat per a obtindre la solució va ser fet per Carl Friedrich Gauss, i d'ahí el seu nom.

El problema

Considere's un círcul en R² en centre en l'orige i ràdio r ≥ 0. el problema del círcul de Gauss pregunta quànts punts de la forma (m,n) hi ha dins del círcul, a on m i n són abdós sancers. ya que l'equació d'este círcul està donada en coordenades cartesianas per x² + i² = r², la qüestió és equivalent a preguntar quànts parells de sancers m i n hi ha, tals que

$m^2+n^2\le r^2.$

Si la resposta donada per a r es denota per N(r), llavors la següent llistamostra uns pocs valors de N(r) per a r sancer entre 0 i 10:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317 Plantilla:OEIS.

Acotaciones de la solució i conjectura

L'àrea d'un círcul de ràdio r ve donada per πr², i lloc que un quadrat d'àrea 1 en R² conté un punt sancer solament, la resposta esperada al problema podria ser sobre πr². De fet, podria ser llaugerament major que això, ya que els círculs són més eficients en tancar espais que els quadrats. Aixina que, en efecte, es podria esperar que

$N(r)=\pi r^2+E(r)$

per a algun terme de I(r). El trobar un llímit superior correcte para I(r) és puix, la forma que ha pres el problema.

Gauss va conseguir demostrar que que

$E(r)\le 2\sqrt{2}\pi r.$

Hardy i, independentment, Landau varen trobar un llímit inferior en mostrar que

$E(r)\ne o(r^{1/2}(\log r{)}^{1/4}),$

usant la notació o minúscula. Es conjectura que el correcte valor del llímit és

$E(r)=O\left(r^{1/2+\epsilon }\right).$

Escrivint |I(r)| ≤ Cr^t, els actuals llímits en t són

$\frac{1}{2}<t\le \frac{131}{208}=0.6298\dots ,$

en el llímit inferior de Hardy i Landau de 1915, i el llímit superior demostrat per Huxley en l'any 2000.

En 2007, Sylvain Cappell i Julius Shaneson varen publicar un artícul en arXiv assegurant demostrar el llímit de O(r^1/2+ε). Kannan Soundararajan va resenyar haver trobat un error en la demostració.