Grup discret

En matemàtiques, un grup discret és un grup G, proveït en una topología discreta. En esta topología, G es convertix en un grup topològic. Un subgrup discret d'un grup topològic G és un subgrup H, que la seua topología relativa és discreta. Per eixemple, el conjunt dels número entero, Z, formen un subgrup discret dels reals, R (en la topología mètrica estàndar), pero el conjunt dels número racional, Q, no és un subgrup discret de R.

Qualsevol grup pot tindre topología discreta. Ya que tot mapage d'un espai discret és continu, els homomorfismes topològics entre grups distints són exactament els homomorfismes de grups entre els grups de base. Per lo tant, hi ha un isomorfisme entre la categoria de grups i la categoria de grups discrets. Els grups discrets per lo tant, es poden identificar en grups subjacents (no topològics). Tenint açò en ment, el terme teoria de grups discrets s'utilisa per a referir-se a l'estudi dels grups sense estructura topològica, en contraposició a la teoria de grups topològics o grups de Lie. Estan dividits, des d'un punt de vista llògic i tècnic, en teoria de grups finitos i teoria de grups infinits.

Hi ha algunes ocasions en que un grup topològic o grup de Lie està provechosamente dotat de la topología discreta, "contra natura". Açò succeïx per eixemple en la teoria de la compactación de Bohr i en la teoria de cohomología de grups dels grups de Lie.

Propietats

Ya que els grups topològics són homogéneus, solament és necessari mirar a un sol punt per a determinar si el grup topològic és discret. En particular, un grup topològic és discret si i solament si el conjunt unitari que conté l'identitat és un conjunt obert.

Un grup discret és lo mateix que un grup de Lie zero-dimensional (els grups discrets incontables no són segon numerables aixina que els autors que requerixen que els grups de Lie satisfacen este axioma no consideren a estos grups com a grups de Lie). El component d'identitat d'un grup discret és el subgrup trivial, mentres que el grup de components és isomorfo en el propi grup.

ya que l'única topología de Hausdorff en un conjunt finito és la discreta, un grup topològic de Hausdorff finito necessàriament deu ser discret. D'això es desprén que tots els subgrups finitos d'un grup de Hausdorff són discrets.

Un subgrup discret H de G és cocompacto si hi ha un subconjunt compacte K de G de tal manera que HK=G.

Els subgrups discrets juguen un paper important en la teoria dels grups recubridores i els grups localment isomorfos. Un subgrup discret normal d'un grup conectat G necessàriament es troba en el centre de G i per lo tant és abeliano.

Atres propietats:

• Cada grup discret està totalment desconectat
• Tots els subgrups d'un grup discret són discrets.
• Tots els grups cocients d'un grup discret són discrets.
• El producte d'un número finito de grups discrets és discret.
• Un grup discret és compacte si i solament si és finito.
• Cada grup discret és localment compacte.
• Cada subgrup discret d'un grup de Hausdorff és tancat.
• Cada subgrup discret d'un grup compacte de Hausdorff és finito.

Eixemples

• Els grups de friso i els grups cristalográficos plans (wallpaper groups, en anglés) són subgrups discrets del grup d'isometría del pla euclidiano. Els grups cristalográficos plans són cocompactos, pero els grups de friso no ho són.
• Un grup espacial és un subgrup discret del grup d'isometría de l'espai euclidiano d'una certa dimensió.
• Un grup cristalográfico per lo general és un subgrup discret, cocompacto de les isometría d'un espai euclidiano. A voltes, no obstant, un grup cristalográfico pot ser un subgrup discret cocompacto d'un grup de Lie resoluble o nilpotent.
• Tot grup triangular T és un subgrup discret del grup d'isometría de l'esfera (quan T és finito), del pla euclidiano (quan T té Z + Z subgrups d'índex finito), o del pla hiperbòlic.
• Els grups fuchsianos (o grups de Fuchs) són, per definició, subgrups discrets del grup d'isometría del pla hiperbòlic.
  • Un grup fuchsiano que preserva l'orientació i actua en el model de semiplano superior del pla hiperbòlic és un subgrup discret del grup de Lie PSL(2,R), conservant el grup d'isometría l'orientació del model de semiplano superior del pla hiperbòlic.

• • Un grup fuchsiano és a voltes considerat com un cas especial d'un grup kleiniano, incrustant el pla hiperbòlic isométricamente en l'espai hiperbòlic tridimensional i estenent l'acció de grup del pla a tot l'espai.
  • El grup modular és un subgrup discret de PSL (2,R). El grup modular és una ret de PSL (2,R) i és cocompacto, açò és, l'espai cocient de l'acció és de volum finito.
• Els grups kleinianos són, per definició, subgrups discrets del grup d'isometría del 3-espai hiperbòlic. Estos inclouen als grups cuasi-fuchsianos.
  • Un grup kleiniano que preserva l'orientació i actua sobre el model semiespacial superior del 3-espai hiperbòlic és un subgrup discret del grup de Lie PSL(2,C), conservant el grup d'isometría l'orientació del model semiespacio superior del 3-espai hiperbòlic.
• Una ret d'un grup de Lie és un subgrup discret tal que la mida de Haar de l'espai cocient és finita.

Vore també

• grup puntual cristalográfico
• subgrup de congruència
• grup aritmètic
• teoria geomètrica de grups
• teoria computacional de grups
• lliurement discontinu
• conjunt regular lliure

Referències

• Plantilla:Springer
• Plantilla:Springer