Teoria geomètrica de grups

Archiu:Variante de l'automate de l'allumeur de réverbères.jpg

Teoria geomètrica de grups (diagrama simple)

La teoria geomètrica de grups és un àrea de les matemàtiques que es dedica a l'estudi dels grups finitamente generats per mig de les exploracions entre les propietats de tals grups i les propietats topolgicas o geomètriques dels espais a on estos grups actuen. (açò és, quan els grups en qüestió són realisats com a simetria geomètriques o transformacions contínues d'alguns espais).

Una atra important idea en la teoria geomètrica dels grups és considerar els mateixos grups finitamente generats com a objectes geomètrics.

Açò és usualment fet per mig de l'estudi del grafo de Cayley del grup, en el qual, ademés de l'estructura de grafo, estan adossades en una d'espai mètric, donada per la cridada word metric.

La teoria geomètrica dels grups, com una branca distinta de les matemàtiques, és relativament nova, i ha devingut clarament identificable com una part de les matemàtiques des de finals dels 1980's. La teoria geomètrica dels grups interactua cercanamente en la topología de dimensions baixes, la geometria hiperbòlica, la topología algebraica, la teoria computacional de grups i la geometria diferencial.

Hi ha substanciosas conexions en la teoria de la complexitat computacional i la llògica matemàtica, l'estudi dels grups de Lie i els seus subgrups discrets, els sistemes dinàmics , la teoria de la provabilitat i la K-teoria, entre unes atres.

Temàtica notable

Els temes notables en el desenroll d'esta ciència en els 1990s i 2000s inclouen:

• L'estudi del programa de Grómov sobre les propietats cuasi-isomètriques dels grups.

El programa de Grómov és un tema àmpliament influent és el de la classificació dels grups finitamente generats d'acort a la seua escala geomètrica. Formalment, açò significa classificar els grups finitamente generats utilisant el seu word metric fins a la cuasi-isometría. Este programa involucra:

1. L'estudi de les propietats que són invariantes baix cuasi-isometría. Eixemple de tals propietats dels grups finitamente generats inclouen: la taxa de creiximent del grup; la funció isoperimétrica o la funció de Dehn del grup; el número de puntes del grup (com en ends); hiperbolicidad del grup; el tipo-homeomórfico de la frontera d'un grup hiperbòlic; cons asintòtics; virtualitat abeliana; virtualitat nilpotent; virtualitat lliure; presentabilidad finita; tindre resolubilidad del problema-de-la-paraula (com en word problem); i unes atres.
2. Les teoremes que usen invariantes cuasi-isomètrics per a provar resultats algebraics sobre grups, per eixemple: el problema de creiximent polinomial de Grómov; la teorema de Stallings de puntes; la teorema de rigidea de Mostow.
3. Les teoremes de rigidea cuasi-isomètrica, en la qual un classifica algebraicamente tots els grups que són cuasi-isomètrics a un grup o espai mètric dau. Esta direcció va ser iniciada pel treball de Schwartz de rigidea cuasi-isomètrica de rets (lattices) de ranc un i pel treball de Farb i Moser en rigidea cuasi-isomètrica dels grups de Baumslag-Solitar.

• La teoria del word-problem en grups hiperbòlics i els grups relativament hiperbòlics. El particularment important desenroll del treball de Sela dels 1990s resultant en la solució del problema de l'isomorfisme per a grups hiperbòlics.

• Les interaccions en la llògica matemàtica i l'estudi la teoria de primer-orde en grups lliures. El progrés de les famoses conjectura de Tarski. L'estudi del grup llímit i l'introducció del llenguage i maquinària de la geometria algebraica no-conmutativa va guanyar prominència.

• Les interaccions en la ciència computacional, teoria de complexitat i la teoria de llenguages formals. Este tema és ejemplificado pel desenroll de la teoria de grups automàtics, una noció que impon certes condicions geomètriques i de llenguage-teòric sobre l'operació en un grup finitamente generat.

• L'estudi de les desigualtats isoperimétricas, Funcions de Dehn i les seues generalisacions per a grups finitamente presentats. Açò inclou el treball de Birget, Ol'shanskii, Rips i Sapiresencialmente caracterisant les possibles funcions de Dehn de grups finitamente presentats, tant com els resultats que proven la construcció explícita de grups en funcions racionals de Dehn.

• Les conexions en l'anàlisis geomètric, l'estudi de les ${ℂ}^{*}$-àlgebra associades en grups discrets i la teoria de provabilitat lliure. Este tema és representat, en particular, pel considerable progrés en la conjectura de Nóvikov i la conjectura de Baum-Connes i els desenrolls i estudis relacionats en les nocions teòric-grupales tals com topological amenability, dimensió asintòtica, encajamiento uniforme en espais de Hilbert, propietat de decaiguda ràpida, etc.

• Les interaccions en la teoria de l'anàlisis cuasi-conforme en espais mètrics, particularment en relació en la conjectura de Cannon sobre els grups hiperbòlics en frontera (topología) homeomorfa a la 2-esfera.

• L'introducció de métodos provabilístics a l'estudi de les propietats algebraiques objectes teòric-grupales aleatòries. Un important desenroll ací és el treball de Grómov quí va usar métodos provabilístics per a provar l'existència d'un grup finitamente generat que no és uniformemente encajable en un espai de hilbert. Atres notables desenrolls inclouen l'introducció i estudi de la noció de complexitat de cas-genèric per a algoritmes teòric-grupales i uns atres, tant com a resultats sobre rigidea algebraica per a grups genèrics.