Encaix (matemàtica)

En matemàtica, un encaix o immersió (cf; embedding) és una instància d'alguna estructura matemàtica continguda dins d'una atra instància, tal com pot ser un grup que és un subgrup. Es definix segons la categoria que estigam parlant, per això, podem parlar de encaixos topològics, encaixos algebraics, encaixos geomètrics o uns atres.

Quan algun objecte X es diu que és encaixat en un atre objecte I, l'encaix és donat per alguna funció inyectiva que preserve la seua estructura f : X → I. El significat precís de «preservar estructura» depén del tipo d'estructura matemàtica de les quals X i I són instàncies. En terminologia de la teoria de categories, un mapa que preserva l'estructura és cridat morfisme. En general, conservar una estructura es veu associat l'equivalència entre operar certa funció en certes entitats donades de X en operar en els mapages d'estes entitats (els quals es troben en I), per eixemple i per dir alguna cosa, f(a+b)=f(a)+f(b). D'esta forma, podem parlar de conservar distància, llongitut o atres propietats fonamentals més abstractes. Aixina, saber que dos objectes estan encaixats implica que podem generalisar conclusions o arguments per a aplicar-los ya siga en X o en I segons convinga sense majors contratemps. cal destacar que com parlem de funcions devem o més be podem partir de la teoria de conjunts per a una major formalisació i per a facilitar l'abstracció.

El fet de que un mapa f : X → I siga un encaix és a voltes indicat per mig de l'us d'una «flecha enganchada», per lo tant: $f:X\hookrightarrow Y.$ Per un atre costat, esta notació és a voltes reservada per a injeccions canòniques.

Daus X i I, varis encaixos diferents de X en I poden ser possibles. En la majoria dels casos d'interés, hi ha un encaix estàndar (o «canònic»), com aquells de número natural en els número entero, els sancers en els número racional, els número racional en els número real, i els número real en els número complex. En tals casos és comú identificar el domini X en les seues imàgens f(X) contingudes en I, de manera que X ⊆ I.

Definició

Siguen X,I objectes d'alguna categoria $𝐂$. Un encaix de X en I és una funció $X\to Y$ la qual és un $𝐂$-morfisme i és inyectivo, i.i. f és un $𝐂$-monomorfisme.

Concepte associat

Un espai en frontera X es diu que està pròpiament encaixat en un atre espai I en frontera si existix un encaix $f:X\to Y$ tal que la restricció $f{|}_{\partial X}:\partial X\to \partial Y$ també és un encaix.

Vore també

• Espai de Banach
• Alexander Grothendieck
• Isotopía