Segon axioma de numerabilidad

En topología, es diu que un espai topològic $(X,𝒯)$ verifica el segon axioma de numerabilidad (o que és segon numerable, o segon contable) si la seua topología té una base numerable. En forma abreviada, sol dir-se també que l'espai és 2AN o ANII.

Propietats

El ser ANII és una propietat global que llimita el número d'oberts de la topología. De fet, es demostra que si (X,T) és ANII, llavors el cardinal de T és menor o igual que el cardinal del continu. Ser ANII és una propietat hereditària: tot subespacio d'un espai ANII també ho és. El producte numerable d'espais ANII és a la seua volta ANII. Tot espai ANII és un espai ANI. Tot espai ANII és un espai de Lindelöf.

Eixemples

• L'espai euclídeo ${ℝ}^n$ en el seu topología usual és ANII. Encara que la base formada per les boles obertes no és numerable, podem trobar una base que sí ho és: la formada per les boles de ràdio racional i el centre de la qual tinga coordenades racionals.
• La tàctica anterior pot repetir-se en un espai mètric separable ( i.i. que continga un subconjunt dens numerable A). Com a base basta triar de nou les boles de ràdio racional centrades en A.

l'espai topològic trivial és ANII lloc que l'única base d'oberts conté un únic element. l'espai topològic discret, $(X,{\mathrm{T}}_D)$, és ANII si i només si $X$ és numerable. l'espai de Sorgenfrey no és ANII, encara que sí és ANI. La recta cofinita, $(ℝ,{\mathrm{T}}_{cof})$, no és ANII lloc que no és ANI.

Vore també

• Primer axioma de numerabilidad