Topología discreta

En matemàtiques, la topología discreta d'un conjunt X és la topología donada pel conjunt potencia de X. Açò és, tot subconjunt de X és un conjunt obert en la topología discreta. Un espai que posseïx la topología discreta es coneix també com a espai discret.

La topología discreta és la topología més fina que se li pot donar a un conjunt. Qualsevol conjunt en la topología discreta és metrisable si definim $d(x,y)=1$ per a qualsevol $x\ne y$ i $d(x,y)=0$ si $x=y$.

Les següents condicions són equivalents:

• X és un espai topològic discret.
• Tot conjunt d'un element $\{x\}$ en $x\in X$ és un conjunt obert.
• Tot subconjunt de X que conté a x és una veïnat de x.

Notem que qualsevol biyección entre espais discrets és un homeomorfisme.

Subespacios discrets

Si I és un subconjunt de X, i la topología subespacio en I és discreta, llavors I és un subespacio discret de X-

Supongam que X és un espai topològic i I un subconjunt de X. Llavors I és un subespacio discret si i només si per a qualsevol $y\in Y$ existix un conjunt obert V de X tal que

$V\cap Y=\{y\}.$

Eixemples

• $\mathbb{Z}$, com espai mètric baixe la mètrica euclidiana $d(m,n)=|m-n|$ té la topología discreta. Açò és equivalent a considerar a $\mathbb{Z}$ com subespacio topològic de $ℝ$ or $ℂ$ en les seues topología usuals.
• $\mathbb{Q}$, com subespacio de $ℝ$ en la topología usual no és discret: qualsevol obert que conté a $q\in \mathbb{Q}$ conté l'intersecció $U=B(q,ϵ)\cap \mathbb{Q}$ d'una bola oberta al voltant de $q$ en els número racional. Per la densitat dels racionals, esta bola conté una infinitat d'número racional.
• El conjunt $F=\{1/n\mid n\in \mathbb{N}\}$, com subespacio de $ℝ$ en la topología usual és discret. No obstant, $F\cup \{0\}$ no ho és, puix qualsevol obert que continga a zero, conté alguna fracció de $F$.
• El producte d'una cantitat finita d'espais discrets és discreta en la topología producte. El producte d'una cantitat infinita d'espais discrets és discret en la topología caixa pero en general no ho és en la topología producte.