Espai homogéneu

Archiu:Torus.png

Un bou. El bou estàndar és homogéneu baix els seus grups de difeomorfismo i d'homeomorfisme, i el bou pla és homogéneu baix els seus grups de difeomorfismo, homeomorfisme i isometría

En matemàtiques, un espai homogéneu és, de manera molt informal, un espai que sembla igual en tots els llocs independentment de que es produïxca un moviment donat per l'acció d'un grup. Els espais homogéneus apareixen en la teoria de grups de Lie, de grups algebraics i de grups topològics. Més precisament, un espai homogéneu per a un grup G és una varietat no buida o un espai topològic X sobre el que G actua transitivamente. Els elements de G es denominen simetria de X. Un cas especial és quan el grup G en qüestió és el grup d'automorfisme de l'espai X. Ací, "grup d'automorfisme" pot significar grup d'isometría, difeomorfismo o homeomorfisme. En este cas, X és homogéneu si intuitivamente sembla localment igual en cada punt, ya siga en el sentit de les isometría (geometria rígida), els difeomorfismos (geometria diferencial) o els homeomorfismes (topología). Alguns autors insistixen que l'acció de G siga fidel (els elements que no són l'identitat actuen de manera no trivial), encara que en el present artícul no es fa. Per lo tant, existix un grup d'accions de G en X que es pot considerar com que preserva alguna "estructura geomètrica" en X i convertix a X en una única G-òrbita.

Definició formal

Siga X un conjunt no buit i G un grup. Llavors X es diu espai G si està equipat en una acció de G sobre X.^[1] Tinga's en conte que automàticament G actua per mig d'automorfismes (biyecciones) en el conjunt. Si X ademés pertany a alguna categoria, llavors se supon que els elements de G actuen com automorfismes en la mateixa categoria. És dir, les aplicacions en X provinents d'elements de G conserven l'estructura associada en la categoria (per eixemple, si X és un objecte difeomorfo, llavors l'acció deu ser realisada per un difeomorfismo). Un espai homogéneu és un espai G sobre el qual G actua transitivament.

De manera sucinta, si X és un objecte de la categoria C, llavors l'estructura d'un espai G és un homomorfisme:

ρ : G \to {A u t}_{𝐂} (X)

en el grup d'automorfismes de l'objecte X en la categoria C. El parell (X, ρ) definix un espai homogéneu sempre que ρ(G) siga un grup transitivo de simetria del conjunt subjacent de X.

Eixemples

Per eixemple, si X és un espai topològic, se supon que els elements del grup actuen com homeomorfismes en X. L'estructura d'un espai G és un homomorfisme de grup ρ : G → Homeo(X) en el grup d'homeomorfismes de X.

De manera similar, si X és una varietat diferenciable, llavors els elements del grup són difeomorfos. L'estructura d'un espai G és un homomorfisme de grup ρ : G → Diffeo(X) en el grup de difeomorfismos de X.

Els espais simètrics de Riemann són una classe important d'espais homogéneus i inclouen molts dels eixemples que s'enumeren a continuació.

Entre els eixemples concrets, figuren:

Eixemples d'espais homogéneus
Espai $X$	Grup $G$	Estabilisador $H$
Espai esfèric $𝕊^{n - 1}$	$O (n)$	$O (n - 1)$
Orientat $𝕊^{n - 1}$	$S O (n)$	$S O (n - 1)$
Espai proyectivo ${ℙ ℝ}^{n - 1}$	$P O (n)$	$P O (n - 1)$
Espai euclídeo $𝔼^{n}$	$E (n)$	$O (n)$
Orientat $𝔼^{n}$	$E^{+} (n)$	$S O (n)$
Espai hiperbòlic $ℍ^{n}$	$O^{+} (1, n)$	$O (n)$
Orientat $ℍ^{n}$	${S O}^{+} (1, n)$	$S O (n)$
Anti espai de Sitter ${A d S}_{n + 1}$	$O (2, n)$	$O (1, n)$
Grassmanniano $G r (r, n)$	$O (n)$	$O (r) \times O (n - r)$
Espai afí $𝔸 (n, K)$	$A f f (n, K)$	$G L (n, K)$

Grups d'isometría

Curvatura positiva:

Esfera (grup ortogonal): $S^{n - 1} ≅ O (n) / O (n - 1)$ . Açò és cert per les següents observacions: Primer, $S^{n - 1}$ és el conjunt de vectores en $ℝ^{n}$ en norma $1$ . Si es considera un d'estos vectores com un vector base, llavors es pot construir qualsevol atre vector per mig d'una transformació ortogonal. Si es considera el tram d'este vector com un subespacio unidimensional de $ℝ^{n}$ , llavors el complement és un espai vectorial $(n - 1)$ -dimensional que és invariante baix una transformació ortogonal de $O (n - 1)$ . Açò mostra per qué es pot construir $S^{n - 1}$ com un espai homogéneu.
Esfera orientada (grup ortogonal): $S^{n - 1} ≅ S O (n) / S O (n - 1)$
Espai proyectivo (grup ortogonal proyectivo): $P^{n - 1} ≅ P O (n) / P O (n - 1)$

Pla (curvatura zero):

Espai euclídeo (grup euclídeo, l'estabilisador puntual és un grup ortogonal): 'Aⁿ ≅ I(n)/O(n)

Curvatura negativa:

Espai hiperbòlic (grup de Lorentz, grup ortogonal de l'estabilisador de punts, corresponent al modele hiperboloide): 'Hⁿ ≅ O⁺(1, n)/O(n)
Espai hiperbòlic orientat: SO⁺(1, n)/SO(n)
Espai-temps anti de Sitter: ANUNCIS_n+1 = O(2, n)/O(1, n)

Uns atres

Espai afí sobre el camp K (per al grup afí, grup llineal general estabilisador de punt): 'Aⁿ = Aff(n, K)/GL(n, K).
Grasmaniano: $G r (r, n) = O (n) / (O (r) \times O (n - r))$
Espais vectorials topològics (en el sentit de la topología)

Geometria

Des del punt de vista del Programa de Erlangen, es pot entendre que "tots els punts són iguals" en la geometria de X. Açò s'aplicava essencialment a totes les geometria propostes abans de l'aparició de la geometria de Riemann, a mitan de el XIX.

Aixina, per eixemple, l'espai euclídeo, l'espai afí i l'espai proyectivo són espais naturalment homogéneus per als seus respectius grups de simetria. Lo mateixa ocorre en els models trobats de geometria no euclidiana de curvatura constant, com l'espai hiperbòlic.

Un atre eixemple clàssic és l'espai de les rectes en l'espai proyectivo de tres dimensions (de manera equivalent, l'espai dels subespacios bidimensionales d'un espai vectorial de quatre dimensions). És simple demostrar en àlgebra llineal que GL₄ actua transitivamente sobre ells. Es pot parametrizarlos per mig de coordenades de llínea: estos són els menors d'orde 2 × 2 de la matriu de 4 × 2 en dos vectores base del subespacio com a columnes. La geometria de l'espai homogéneu resultant és la geometria llineal de Julius Plücker.

Espais homogéneus com a espais de classes laterals

En general, si X és un espai homogéneu de G, i H_o és l'estabilisador d'algun punt marcat o en X (una elecció d'orige), els punts de X corresponen a les classes laterals a l'esquerra G/H_o, i el punt marcat o correspon a la classe lateral de l'identitat. Pel contrari, donat un espai lateral G/H, és un espai homogéneu per a G en un punt distinguit, a saber, la classe lateral de l'identitat. Per tant, un espai homogéneu pot considerar-se com un espai lateral sense elecció d'orige.

Per eixemple, si H és el subgrup d'identitat {i}, llavors X és un G-torsor, lo que explica per qué els G-torsores a sovint es descriuen intuitivamente com " $G$ sense considerar l'identitat".

En general, una elecció diferent de l'orige o conduirà a un cocient de G per un subgrup diferent H_o′ que està relacionat en H_o per un automorfisme intern de G. Específicament,

Plantilla:NumBlk

a on g és qualsevol element de G per al que go = o′. Tinga's en conte que l'automorfisme intern (1) no depén de quina g se seleccione; depén solament del mòdul g H_o.

Si l'acció de G sobre X és contínua i X és de Hausdorff, llavors H és un grup topològic de G. En particular, si G és un grup de Lie, llavors H és un grup de Lie segons el teorema de Cartan. Per lo tant, G/H és una varietat diferenciable i, per lo tant, X porta una estructura suau única compatible en l'acció del grup.

Es pot anar més allà als espais de classe lateral doble, en particular les formes de Clifford-Klein ΓG/H, a on Γ és un subgrup discret (de G) que actua com acció.

Eixemple

Per eixemple, en el cas de la geometria llineal, es pot identificar H com un subgrup de 12 dimensions del grup llineal general, GL(4) de 16 dimensions, definit per condicions en les entrades de la matriu:

h₁₃ = h₁₄ = h₂₃ = h₂₄ = 0,

buscant l'estabilisador del subespacio comprés pels dos primers vectores d'una base estàndar. Això demostra que X té dimensió 4.

Ya que les coordenades homogénees donades pels menors són 6, açò significa que estos últims no són independents entre sí. De fet, existix una única relació quadràtica entre els sis menors, com sabien els geómetras de el XIX.

Este eixemple va ser el primer eixemple conegut de grasmaniano, ademés d'un espai proyectivo. Hi ha molts més espais homogéneus dels grups llineals clàssics d'us comú en matemàtiques.

Espais vectorials prehomogéneos

L'idea d'espai vectorial prehomogéneo va ser introduïda per Mikio Satō.

És un espai vectorial V de dimensió finita en una acció de grup d'un grup algebraic G, tal que hi ha una òrbita de G que està oberta per a la topología de Zariski (i per lo tant, densa). Un eixemple és GL(1) actuant sobre un espai unidimensional.

La definició és més restrictiva de lo que sembla inicialment: dits espais tenen propietats notables i existix una classificació d'espais vectorials prehomogéneos irreducibles, fins a una transformació coneguda com "enroque".

Espais homogéneus en física

Donat el grup de Poincaré G i el seu subgrup el grup de Lorentz H, l'espai de classes laterals G/H és l'àlgebra del espai-temps de Minkowski.^[2]

La cosmologia física que utilisa la relativitat general fa us del sistema de classificació de Bianchi. Els espais homogéneus en relativitat representen l'espai sobre el que es definix la mètrica de fondo per a alguns models cosmológicos. Per eixemple, els tres casos de mètrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker poden estar representats per subconjunts dels tipos de Bianchi I (pla), V (obert), VII (pla o obert) i IX (tancat), mentres que l'univers Mixmaster representa un eixemple anisotrópico de la cosmologia IX de Bianchi.^[3]

Un espai homogéneu de N dimensions admet un conjunt de $\frac{1}{2} N (N + 1)$ vectores de Killing.^[4] Per a tres dimensions, açò dona un total de sis camps vectorials de Killing linealment independents. Els 3 espais homogéneus tenen la propietat de que es poden usar combinacions llineals d'estos per a trobar tres camps vectorials de Killing que no desapareixen en tots els llocs ( $ξ_{i}^{(a)}$ ),

ξ_{[i; k]}^{(a)} = C_{b c}^{a} ξ_{i}^{(b)} ξ_{k}^{(c)}

a on l'objecte $C_{b c}^{a}$ , les "constants d'estructura", formen un tensor constant antisimètric en els seus dos índexs inferiors (en el costat esquerre, els corchetes denoten antisimetrización i ";" representa l'operador diferencial covariant). En el cas d'un univers isotrópico pla, una possibilitat és que $C_{b c}^{a} = 0$ (tipo I), pero en el cas d'un univers FLRW tancat (segons la mètrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker), $C_{b c}^{a} = ε_{b c}^{a}$ a on $ε_{b c}^{a}$ és el Símbol de Levi-Civita.

Vore també

Referències

↑ Se supon que l'acció és a la "esquerra". La distinció només és important en la descripció de X com un espai co-conjunt.
↑ Robert Hermann (1966) Lie Groups for Physicists, page 4, W. A. Benjamin
↑ Lev Landáu and Yevgueni Lifshits(1980).«Course of Theoretical Physics vol. 2: The Classical Theory of Fields».Butterworth-Heinemann.
↑ Steven Weinberg(1972).«Gravitation and Cosmology».John Wiley and Sons.

Referències

John Milnor & James D. Stasheff (1974) Characteristic Classes, Princeton University Press ISBN 0-691-08122-0
Takashi Koda An Introduction to the Geometry of Homogeneous Spaces from Kyungpook National University
Menelaos Zikidis Homogeneous Spaces from Heidelberg University
Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu (1969) Foundations of Differential Geometry, volume 2, chapter X, (Wiley Classics Library)

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Espacio homogéneo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Se supon que l'acció és a la "esquerra". La distinció només és important en la descripció de X com un espai co-conjunt.

[2] Robert Hermann (1966) Lie Groups for Physicists, page 4, W. A. Benjamin

[3] Lev Landáu and Yevgueni Lifshits(1980).«Course of Theoretical Physics vol. 2: The Classical Theory of Fields».Butterworth-Heinemann.

[4] Steven Weinberg(1972).«Gravitation and Cosmology».John Wiley and Sons.

[1]

[2]

[3]

[4]