Automorfisme intern

En àlgebra abstracta, un automorfisme intern és un automorfisme d'un grup, anell, o àlgebra donat per l'acció de conjugació d'un element donat. Els automorfismes interns formen un subgrup del grup d'automorfismes.

Definició

Si G és un grup i g és un element de G (alternativament, si G és un anell i g és una unitat), la funció

$\begin{array}{cc}{\phi }_g:G& \to G\\ {\phi }_g(x)& :=g^{-1}xg\end{array}$

es diu conjugació per g. Esta funció és un endomorfisme de G: per a tot $x_1,x_2\in G,$

${\phi }_g(x_1{x}_2)=g^{-1}{x}_1{x}_{2}g=\left(g^{-1}{x}_{1}g\right)\left(g^{-1}{x}_{2}g\right)={\phi }_g(x_1){\phi }_g(x_2),$

a on la segona igualtat és donada per l'inserció del element neutre entre $x_1$ i $x_2.$ Ademés, té una funció inversa per l'esquerra i per la dreta, a la que podem cridar ${\phi }_{g^{-1}}.$ Per tant, ${\phi }_g$ és biyectiva, aixina com un isomorfisme de G en sí mateixa; és dir, un automorfisme. Un automorfisme intern és qualsevol automorfisme que sorgix de la conjugació.

Grups d'automorfismes interns i externs

La composició de funcions de dos automorfismes interns és també un automorfisme intern, i, en esta operació, la colecció de tots els automorfismes interns de G és un grup, el grup d'automorfismes interns de G, denotat per Int(G).

Int(G) és un subgrup normal del grup d'automorfismes Aut(G) de G. El grup d'automorfismes externs, Ext(G), és el grup cocient

$\mathrm{Ext}(G)=\mathrm{Aut}(G)/\mathrm{Int}(G).$

El grup d'automorfismes externs medix, en cert sentit, quants automorfismes de G no són interns. A tot automorfisme no intern se li pot assignar un element no trivial de Ext(G), pero automorfismes no llineals diferents poden tindre assignat un mateix element de Ext(G).

Dir que la conjugació de x per a no modifica a x equival a dir que a i x commuten:

$a^{-1}xa=x⟺xa=ax.$

Per lo tant, l'existència i el número d'automorfismes interns que no són la funció identitat són una manera de medir la no-conmutatividad del grup (o anell).

Associant l'element a ∈ G en l'automorfisme intern f(x) = aPlantilla:Supxa en Int(G), s'obté un isomorfisme entre el grup cocient G / Z(G) (a on Z(G) és el centre de G) i el grup d'automorfismes interns:

$G/\mathrm{Z}(G)\cong \mathrm{Inn}(G).$

Esta és una conseqüència del primera teorema de isomorfía, puix Z(G) és precisament el conjunt d'aquells elements de G que tenen associada la funció identitat com a automorfisme intern corresponent (la conjugació no canvia res).

Tipos de grups

L'automorfisme intern d'un grup G, Int(G), és trivial (és dir, conté únicament al element neutre) si i solament si G és abeliano.

El grup Int(G) és cíclico solament quan és trivial.

A l'atre costat de l'espectre, els automorfismes interns poden omplir el grup d'automorfismes Aut(G) sancer. Un grup els automorfismes del qual són tots interns i el centre dels quals és trivial es diu complet. Est és el cas de tots els grups simètrics de n elements en n distint de 2 o 6. Quan n = 6, el grup simètric té una classe no trivial d'automorfismes no interns única; i, quan n = 2, el grup simètric, encara que no tinga automorfismes no interns, és abeliano, per lo que té un centre no trivial, impedint que es puga considerar complet.

Si el grup d'automorfismes interns d'un grup perfecte G és simple, llavors G es considera cuasisimple.