Conjugació (teoria de grups)

En àlgebra abstracta, i més concretament en teoria de grups, es denomina conjugació a un tipo d'acció d'un grup sobre sí mateixa. Un eixemple d'este tipo d'operació és la semblança de matrius.

Siga $(G,\circ )$ un grup, i siga $g\in G$ u dels seus elements. Es denomina conjugat de $a$ per $g$ a l'element $b=g^{-1}\circ a\circ g$. Llavors es diu que els elements $a$ i $b$ són conjugats.

La conjugació com a relació

En un grup, es pot definir la relació:

$\mathrm{\forall }a,b\in G:a\sim b\iff b=g^{-1}\circ a\circ g$ per a algun $g\in G$.

tal que $a$ està relacionat en $b$ precisament si $a$ i $b$ són conjugats. La relació aixina definida és una relació d'equivalència.

Per tant, els elements conjugats d'un element $a$ formen una classe, cridada classe de conjugació de $a$:

$[a]=\{x^{-1}ax:x\in G\}$.

Com la conjugació per un element fix del grup és un isomorfisme de grups, cada dos elements d'una mateixa classe de conjugació són indistinguibles des del punt de vista de l'estructura de grup. En particular, tenen el mateix orde.

Eixemples

• La classe de conjugació del neutre conté solament al neutre: $[e]=\{e\}$. Lo mateixa ocorre en els demés elements del centre del grup. Açò caracterisa als elements del centre.
• Dos permutació d'un grup simètric $S_n$ estan en la mateixa classe de conjugació si i solament si els cicles en els seus descomposicones en cicles disjuntos tenen les mateixes llongituts. Per lo tant, el número de classes de $S_n$ és el número de particions de $n$.
• Donat un subgrup d'un grup $H\le G$, sempre que dos elements de $H$ són conjugats en $H$, també ho són en $G$; no obstant, el ser conjugats en $G$ no implica que lo siguen en $H$. Per eixemple, les permutació $(123)$ i $(213)$ són conjugades en $S_3$ —són cicles de la mateixa llongitut— pero no ho són en el grup alternat $A_3$, que és abeliano.

Acció de grup

Considere's l'acció de $G$ sobre sí mateixa

que ve donada per la conjugació successiva pels diferents elements $g\in G$. Baixe este punt de vista:

• l'òrbita d'un element $a$ baixe l'acció $\varphi$ és la classe de conjugació de dit element.
• l'estabilisador d'un subconjunt baix l'acció $\varphi$ és el normalizador de dit subconjunt. Quan es tracta d'un únic element $a$ diem que és el centralizador de $a$.