Partició (teoria de números)

Diagrames de Young mostrant el número de particions dels sancers de l'1 al 8. S'assignen diferents colors a cada sancer. Per eixemple, en vert, observem que hi ha 5 particions de 4.

En matemàtiques discretes, una partició d'un sancer positiu n és una forma de descompondre n com suma de sancers positius. Dos sumes es consideraran iguals si solament diferixen en l'orde dels sumants.

De modo més rigorós, una partició d'un número entero positiu n és una seqüència de sancers positius $({\lambda }_1,{\lambda }_2,\mathrm{...},{\lambda }_m)$ tal que

${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \mathrm{...}\ge {\lambda }_m\mathrm{y}{\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots {\lambda }_m=n$ .

Les possibles particions d'un sancer n poden visualisar-se en els diagrames coneguts com a diagrames de Ferrers o diagrames de Young.

Eixemples

Les cinc particions del número 4 són:

4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1

I les onze particions del número 6 són:

6 = 5 + 1 = 4 +2 = 4 + 1 + 1 = 3 + 3 = 3 + 2 + 1 =

= 3 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1

Erro al crear miniatura:

Taula de Particions: Es mostra les particions de n com sumixca de cantitats de la fila n+1. En ella patrons i propietats són visibles.

Representació de les particions

Hi ha dos métodos comuns per a representar particions: per un costat, els esquemes Ferrers, més vesprada nomenats Norman Macleod Ferrers, i per un atre els esquemes Young, renombrados despuix pel matemàtic britànic Alfred Young. Abdós tenen vàries convencions possibles; ací, se sol utilisar la notació l'anglesa, en esquemes alineats en el cantó superior esquerre.

Esquemes Ferrers

La partició 6+4+3+1 del número positiu 14 es pot representar per mig d'este diagrama:

Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:
Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:
Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:
Erro al crear miniatura:

Les 14 boles estan alineades en 4 files, cada una en el tamany de la partició corresponent.

A continuació, es mostra un atre eixemple en 5 possibles particions del número 4:

Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:

Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:
Erro al crear miniatura:

Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:
Erro al crear miniatura: Erro al crear miniatura:

       $4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1$

Esquemes Young

Una representació alternativa de la partició de sancers és l'esquema Young. En lloc d'una representació en punts,com el cas anterior, est usa caixes o quadrats. Aixina, la partició 5+4+1 ve donada per:

mentres que en l'esquema Ferrer seria:

Aparentment esta variació és trivial; no obstant l'us dels esquemes Young és útil en l'estudi de funcions simètriques i en teoria de representació de grups. Com a conseqüència de la adyacencia de diferents quadrats, estos esquemes poden considerar-se com un cas especial de poliominós.

Vore també

• Partició plana

Referències

Bibliografia

Tom M. Apostol. Introducció a la teoria analítica de números. Reverté, 1984. ISBN 84-291-5006-4, 9788429150063. pg 382

• Hardy and Wright (2008)

George E. Andrews.The Theory of Partitions ISBN 978-0521637664

Enllaços externs

• Partition en MathWorld.
• Partition Function P en MathWorld.