Partició plana dels sancers

En matemàtiques i especialment en combinatòria, una partició plana o partició bidimensional d'un sancer és un conjunt de sancers no negatius doblement indexats $π_{i, j}$ (en i,j sancers i positius) que és no creixent per a abdós índexs. Açò significa que:

Ademés solament un número finito dels $π_{i, j}$ són distints de zero. Una partició plana d'un sancer pot representar-se gràficament per mig d'una pila de $π_{i, j}$ gavetes unitàries sobre el punt (i, j) en el pla gausiano, resultant un sòlit tridimensional com el mostrat en l'image.

La suma d'una partició plana és:

La suma descriu el número de gavetes que formen la partició plana. El número de particions planes de suma n es denota com PL(n).

Per eixemple, hi ha 6 particions planes en suma 3:

Per lo que PL(3) = 6. (En este cas, les particions planes s'obtenen usant indexat de matrius per a les coordenades i les entrades iguals a zero són eliminades darrere de la legibilidad). Siga $N_{i} (r, s, t)$ el número total de particions planes en les que r és el número de files distintes de zero, s és el número de columnes distintes de zero i t és el major sancer de la matriu. Les particions planes són a sovint descrites per les posicions dels gavetes unitat. Per això una partició plana es definix com un subconjunt finito $𝒫$ de punts de latitut sancers positius (i, j, k) en $ℕ^{3}$ , tal que (r, s, t) estan continguts en $𝒫$ i si (i, j, k) satisfà $1 \leq i \leq r$ , $1 \leq j \leq s$ i $1 \leq k \leq t$ , llavors (i, j, k) també estan continguts en $𝒫$ .

Funcions generadores de particions planes

D'acort en Percy A. MacMahon, la funció generadora de PL(n) ve donada per:^[1]

Açò a voltes es denomina funció de MacMahon.

Esta fòrmula pot ser vista com l'anàloga bidimensional del producte de Euler per al número de particions de sancers de n. No hi ha fòrmula anàloga coneguda per a dimensions superiors (i.i., per a particions sòlides).^[2] El problema del caràcter asintòtic de les particions planes va ser resolt per E. M. Wright.^[3] Per a majors $n$ , s'obté:

Ací, l'error tipogràfic en els artículs de Wright ha segut corregit, despuix de ser senyalat per Mutafchiev i Kamenov.^[4] L'evaluació numèrica dona el resultat:

Al voltant de 1896 Percy Alexander MacMahon va conformar la funció generadora de particions planes que són subconjunts de $ℬ (r, s, t)$ en el seu primer tractat sobre particions planes.^[5] La fòrmula s'obté de

Una demostració d'esta fòrmula pot trobar-se en el llibre Anàlisis Combinatori, per Percy A. MacMahon.^[6] Percy A. MacMahon també menciona en el seu llibre Anàlisis Combinatori les funcions generadoreas de plans en l'artícul 429.^[7] La fòrmula per a funcions generadores pot ser escrita de modo alternatiu, donat per

Considerant q = 1 en les fòrmules de dalt, resulta

Percy A. MacMahon va obtindre que el número total de particions planes en $ℬ (r, s, t)$ ve dau per $N_{1} (r, s, t)$ .^[8] En el cas planario (quan t = 1), resulten els Coeficient binomial:

ℬ (r, s, 1) = (\binom{r + s}{r})

Diagrames de Ferrers per a particions planass

Una atra representació de les particions planass ve donada pel diagrama de Normal Macleods Ferrers. El diagrama de Ferrers d'una partició plana de $n$ és una colecció de $n$ punts o nodos, $λ = (𝐲_{1}, 𝐲_{2}, \dots, 𝐲_{n})$ , en $𝐲_{i} \in ℤ_{\geq 0}^{3}$ satisfent la condició:^[9]

Condició DF: Si el nodo

𝐚 = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \in λ

, llavors també ho són els nodos

𝐲 = (y_{1}, y_{2}, y_{3})

en

0 \leq y_{i} \leq a_{i}

para tot

i = 1, 2, 3

.

Substituint cada nodo d'una partició plana per una gaveta en vores alineades en els eixos s'obté una representació pila de gavetes de la partició plana.

Equivalència de les dos representacions

Donat un diagrama de Ferrers, la partició plana (tal i com s'entén en la definició principial) es construïx d'esta forma

Siga

π_{i, j}

el número de nodos en el diagrama de Ferrers en coordenades de la forma

(i - 1, j - 1, *)

a on

*

denota un valor arbitrari. Es verifica que la satisfacció de les condicions per a la partició plana és condició necessària per al diagrama de Ferrers.

Donat un conjunt de $π_{i, j}$ que formen una partició plana, s'obté el diagrama de Ferrers d'esta forma.

Comencem en un diagrama sense nodos. Per a cada

π_{i, j}

distint de zero, s'afig

π_{i, j}

nodos de la forma

(i - 1, j - 1, y_{3})

per a

0 \leq y_{3} < π_{i, j} - 1

al diagrama. Per construcció, és senzill vore que se satisfà la condició del diagrama de Ferrers.

Per eixemple, davall es mostren les representacions d'una partició plana de 5.

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) ⟺ \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}

Damunt, tots els nodos del diagrama estan escrits com una columna, i solament hem escrit el $π_{i, j}$ no nul, com és convencional.

Referències

↑ Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Volume 2. Corollary 7.20.3.
↑ R.P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Volume 2. pp. 365, 401–2.
↑ E. M. Wright, Asymptotic partition formulae I. Plane partitions, The Quarterly Journal of Mathematics 1 (1931) 177–189.
↑ L. Mutafchiev and E. Kamenov, "Asymptotic formula for the number of plane partitions of positive integers", Comptus Rendus-Academie Bulgare Dones Sciences 59 (2006), no. 4, 361.
↑ “XVI. Memoir on the theory of the partition of numbers.-Part I” . Philosophical Transactions of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 187: Article 52.
↑ MacMahon, Major Percy A. (1916). Combinatory Analysis Vol 2, Chambridge: at the University Press, pp. §495.
↑ MacMahon, Major Percy A.. “Combinatory Analysis”. Chambridge: At the University Press 2: §429.
↑ MacMahon, Major Percy A. (1916). Combinatory Analysis, Chambridge: at the University Press, pp. §429,§494.
↑ “Some computations for m-dimensional partitions” (1967). Proc. Camb. Phil. Soc. 63 (4): 1097–1100. doi:10.1017/s0305004100042171. Bibcode: 1967PCPS...63.1097A.

Bibliografia

G. Andrews, The Theory of Partitions, Cambridge University Press, Cambridge, 1998, ISBN 0-521-63766-X
(1972).«Enumeration of plane partitions».Journal of Combinatorial Theory, Séries A.13

40–54.ISSN 1096-0899.doi:10.1016/0097-3165(72)90007-6.

I.G. Macdonald, Symmetric Functions and Hall Polynomials, Oxford University Press, Oxford, 1999, ISBN 0-19-850450-0
P.A. MacMahon, Combinatory analysis, 2 vols, Cambridge University Press, 1915-16.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Partición plana de los enteros» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Volume 2. Corollary 7.20.3.

[2] R.P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Volume 2. pp. 365, 401–2.

[3] E. M. Wright, Asymptotic partition formulae I. Plane partitions, The Quarterly Journal of Mathematics 1 (1931) 177–189.

[4] L. Mutafchiev and E. Kamenov, "Asymptotic formula for the number of plane partitions of positive integers", Comptus Rendus-Academie Bulgare Dones Sciences 59 (2006), no. 4, 361.

[:5-5] “XVI. Memoir on the theory of the partition of numbers.-Part I” . Philosophical Transactions of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 187: Article 52.

[:4-6] MacMahon, Major Percy A. (1916). Combinatory Analysis Vol 2, Chambridge: at the University Press, pp. §495.

[7] MacMahon, Major Percy A.. “Combinatory Analysis”. Chambridge: At the University Press 2: §429.

[8] MacMahon, Major Percy A. (1916). Combinatory Analysis, Chambridge: at the University Press, pp. §429,§494.

[Atkin1967-9] “Some computations for m-dimensional partitions” (1967). Proc. Camb. Phil. Soc. 63 (4): 1097–1100. doi:10.1017/s0305004100042171. Bibcode: 1967PCPS...63.1097A.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]