Acció (matemàtica)

Acció (matemàtica)

En matemàtiques, i en particular en àlgebra abstracta, una acció d'un grup $(G,*)$ sobre un conjunt $X$ és una aplicació $\varphi :G\times X\to X$ que complix les dos condicions següents:

1. $\mathrm{\forall }x\in X:\varphi (e,x)=x$, a on $e$ és l'element neutre del grup.
2. $\mathrm{\forall }x\in X:g,h\in G,\varphi (g*h,x)=\varphi (g,\varphi (h,x))$.

En tal cas es diu que el grup $G$ actua sobre $X$, i que el conjunt $X$ és un $G$-conjunt.

Les dos condicions anteriors equivalen a que, per a cada element $g$ de $G$, l'aplicació ${\varphi }_g=\varphi (g,\cdot ):X\to X$ és una funció biyectiva definida sobre $X$. En conseqüència, una definició alternativa és que una acció és un homomorfisme entre el grup $G$ i el grup $S_X$

$\theta :G\to S_X:g\mapsto {\varphi }_g$.

a on $S_X$ denota el grup format per totes les funcions biyectivas de $X$ en sí mateixa, baix l'operació de composició de funcions, denominat grup simètric de $X$. Es diu que l'homomorfisme $\theta$ és una representació del grup $G$ per permutació.

Notació alternativa

Una atra notació utilisada per a les accions és $(g,x)\mapsto g\cdot x$. Aixina els axioma d'acció es reescriuen:

• $e\cdot x=x$.
• $(gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)$.

És freqüent denominar punts als elements del conjunt $X$, per a no causar confusió en els elements del grup $G$.

Eixemples

L'eixemple més senzill és la acció trivial: per a qualsevol $g\in G$ i $x\in X$, $\varphi (g,x)=x$. Quan l'acció és trivial, cada biyección ${\varphi }_g$ és l'aplicació identitat del conjunt $X$, que du cada element en sí mateixa.

El grup de tres elements $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=\{0,1,2\}$ actua sobre el pla complex $ℂ$ de la següent manera:

• $\varphi (0,z)=z$.
• $\varphi (1,z)=wz$.
• $\varphi (2,z)=w^{2}z$.

a on $w$ és una raïl cúbica de l'unitat distinta d'1 (si prenguérem la raïl $w=1$ l'acció seria trivial). Geomètricament, esta acció representa rotacions del pla complex respecte de l'orige, en ànguls de 0, 120 i 240 graus.

Un tipo important d'acció és aquella en la que $X$ és un espai vectorial. Este tipo d'accions són el punt de partida de la teoria de la representació.

Referències

Bibliografia referenciada

• tom Dieck, Tammo (1987). Transformation groups, Walter de Gruyter & Co.. ISBN 978-3-11-009745-0.
• Dummit; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra, 3ª edició, Wiley. ISBN 978-81-265-3228-5.
• Eie; Chang, {{{nom2}}} (2010). A Course on Abstract Algebra.
• (2007) Lie Groups: An Approach through Invariants and Representations (en en), Springer Science & Business Mija. ISBN 9780387289298.

• Reid, Mills (2005). Geometry and topology (en en), Cambridge University Press. ISBN 9780521613255.
• Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups, 4ª edició, Springer.
• Smith (2008). Introduction to abstract algebra.
• (1980) The geometry and topology of three-manifolds (en en).

Bibliografia adicional

• Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra, 2ª edició (en anglés).
• Lang, Serge (2005). Algebra, 3ª edició.
• Hall, Marshall (1999). The Theory of Groups, AMS.
• Burnside, W. (1897). Theory of Groups of Finite Order, Cambidge University Press.
• (1956) The Theory of Groups, 2ª edició (en anglés), Chelsea.
• (2012) Contemporary Abstract Algebra, 9ª edició, Cengage, pp. 656. ISBN 9781305657960.
• Dorronsoro, José (1996). Números, grups i anells, Addison-Wesley. ISBN 9788478290093.