Normalizador

En teoria de grups, el normalizador d'un subconjunt S d'un grup G és el major subgrup de G per al qual l'acció de conjugació deixa invariante a S. Quan el conjunt consta d'un sol element, es parla llavors d'un centralizador.

Definició

En a on $gS{g}^{-1}$ és el conjunt definit com $\{gs{g}^{-1}:s\in S\}$.

En particular, si S és un subgrup de G, llavors N(S) és el major subgrup de G en el qual S és un subgrup normal.

Propietats

El resultat més important és que el normalizador d'un subconjunt sempre és un subgrup.

Si G és un grup i S un subconjunt de G, llavors el normalizador N(S) és un subgrup de G.

Un cas de particular interés és quan el subconjunt és al mateix temps un subgrup.

Si H és un subgrup de G, llavors H és un subgrup normal de N(H). Ademés, N(H) és el major subgrup en esta propietat.

Com a conseqüència de la teorema anterior, un subgrup H de G és normal en G si i només si N(H) = G.

• Segons Lang, es consideren estes dos més:
• Si K és un subgrup del normalizador N(H), KH és un grup i H és normal en KH.
• El normalizador d'H és el major subgrup de G en el que H és normal.

Referències

• «Basic algebra».Dover.1.
• «Àlgebra abstracta».Addison-Wesley iberoamericana.1.

Bibliografia

• Baumslag, B.; Chandler, B.: Teoria de grups (1972), Mc Graw-Hill de Mèxic, imprés en Colòmbia.
• Zaldívar, Felipe: Introducció a la teoria de grups (2009), Societat Matemàtica Mexicana-Reverté edicions.
• Lang, Serge: Àlgebra (1973), Aguilar, Madrit, primera reimpressió.