Unitat (àlgebra)

En matemàtica, especialment en àlgebra abstracta, el terme unitat, element invertible o simplement invertible en un anell R en identitat multiplicativa 1_R, es referix a un element o tal que existix un v, cridat el invers multiplicativo en R en

o·v = v·o = 1_R.

A on l'operació · és l'operació multiplicativa de l'anelle R.

Elements d'esta naturalea complixen

• L'invers multiplicativo és únic
• El conjunt de tots els invertibles junt en l'operació multiplicativa de l'anell formen un grup denotat per O(R).

Alguna cosa a tindre en conte és que el terme unitat deu diferenciar-se de la 'unitat' en els anells unitaris.

Eixemples

• En l'anell de sancers, Z, les unitats són ±1.
• En l'anell de sancers mòdul n, Z/Zn, les unitats són les classes congruents mòdul n que són coprimos a n. Estos constituïxen el grup multiplicativo de sancers mòdul n.
• Qualsevol raïl de l'unitat (açò és, solució de l'equació xⁿ=1) és un invertible en qualsevol anell en unitat R. (Si r és la raïl de l'unitat, i rⁿ = 1, llavors r⁻¹ = r^{n − 1} és també un element de R.)
• Si R és l'anell de sancers en un cos numèric, el teorema de les unitats de Dirichlet establix que el grup d'invertibles de R és un grup abeliano finitamente generat. Per eixemple, (√5 + 2)(√5 − 2) = 1 en l'anell de sancers de Q[√5], de fet el grup d'invertibles és finito. En general, el grup d'invertibles d'un camp real quadràtic és sempre finito.

Vore també

• Invers multiplicativo