Grup multiplicativo de sancers mòdul n

Es definix un grup multiplicativo de sancers mòdul n, denotat $M_n$, com un conjunt finito de sancers positius menors que n i coprimos sobre n.

En notació matemàtica es definiria:

$(x\in M_n)\iff ((MCD(n,x)=1)\wedge (x<n)\wedge (x\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}}))$

Propietats

Es pot calcular fàcilment el cardinal de qualsevol conjunt $M_n$ usant la funció indicatriz de Euler $\varphi (n)=|M_n|$, de modo que coneixent una de les propietats de $\varphi (n)$ se sap que si n és primer $M_n$ tindrà $n-1$ elements, ya que $\varphi (n)=n-1$ si n és primer.

Es definix com un grup abeliano, ya que complix la propietat associativa, existix element neutre, per a cada element existix un element simètric i és conmutativo. La propietat associativa i conmutativa es verifiquen fàcilment en aplicar-se l'operació mòdul i multiplicació sobre els elements, ya que abdós són associatives i conmutativas. L'element neutre seria 1, el mateix que per a la multiplicació. L'existència del simètric està determinada per la característica de que els números que ho conformen siguen coprimos a n, ya que s'establix que si a i b són coprimos entre sí, llavors $\mathrm{\exists }x((a*x)modb=1\wedge x\in {\mathbb{Z}}^{\mathbb{+}})$.

Un eixemple seria $M_{16}$ format per $\{1,3,5,7,9,11,13,15\}$, que el seu cardinal és $\varphi (16)=8$

La taula de Cayley d'este grup seria:

X	1	3	5	7	9	11	13	15
1	1	3	5	7	9	11	13	15
3	3	9	15	5	11	1	7	13
5	5	15	9	3	13	7	1	11
7	7	5	3	1	15	13	11	9
9	9	11	13	15	1	3	5	7
11	11	1	7	13	3	9	15	5
13	13	7	1	11	5	15	9	3
15	15	13	11	9	7	5	3	1

S'observa que es complix la propietat conmutativa (la taula és simètrica), és associativa (es pot demostrar en el test de asociatividad de Light), existix un element neutre (seria l'un, al no alterar les columnes i files en les seues respectiva fila i columna) i existix un simètric (en totes les columnes i files apareix l'element neutre). Ademés, una de les propietats dels grups en les taules de Cayley és que en cada fila i columna aparega una única volta cada element, és dir, les files i columnes són permutació dels elements del grup.

Les aplicacions d'este grup són molt variades, relacionades principalment en la teoria de números, la criptografia, la factorización de sancers, o els test de primalidad entre atres àrees de les matemàtiques.

Casos cíclicos

Alguns $M_n$ són grups cíclicos, es definix un grup cíclico com un grup a on existix un element generador $X$ que elevant-ho a diferents exponents podem obtindre el restant d'elements del grup. En el cas de $M_n$ els grups cíclicos són quan $n=2,4,p^k,2p^k$ a on p és primer i diferent de 2 i k un sancer positiu.