Teorema de les unitats de Dirichlet

En matemàtiques, la teorema de les unitats de Dirichlet és un resultat bàsic en teoria d'número algebraico formalisat pel matemàtic alemà a Peter Gustav Lejeune Dirichlet.^[1] Determina el ranc del grup d'unitats en l'anell $O K$ dels número entero algebraics d'un cos numèric $K$ . El regulador és un número real positiu que determina la densitat de les unitats.

Enunciat

La teorema afirma que el grup d'unitats es genera de forma finita i té ranc (número màxim d'elements multiplicativamente independents) igual a:

r = r 1 + r 2 - 1

a on $r 1$ és el número de incrustaciones reals i $r 2$ el número de parells conjugats de incrustaciones complexes de $K$ . Esta caracterisació de $r 1$ i $r 2$ es basa en l'idea de que hi haurà tantes formes d'incrustar $K$ en el camp dels número complejo com el grau $n = [K : ℚ]$ ; estos estaran en els número real, o seran parells de incrustaciones relacionades pels seus conjugats, de modo que

n = r 1 + 2 r 2

.

Es deu tindre en conte que si $K$ és galoisiano sobre $ℚ$ , llavors $r 1$ = 0 o $r 2$ = 0.

Atres formes de determinar $r 1$ i $r 2$ són

Usant la teorema del element primitiu per a explicitar que $K = ℚ(α)$ , i llavors $r 1$ és el número de conjugats de $α$ que són reals, i $2 r 2$ és el número dels que són complexos; en atres paraules, si $f$ és el polinomi mínim de $α$ sobre $ℚ$ , llavors $r 1$ és el número de raïls reals i $2r 2$ és el número de raïls complexes no reals de $f$ (que vénen en parells conjugats complexos);
Partint del producte tensorial $K \otimes ℚ ℝ$ com un producte de cossos, havent $r 1$ còpies de $ℝ$ i $r 2$ còpies de $ℂ$ .

Per eixemple, si $K$ és un cos quadràtic, el ranc és 1 si és un camp quadràtic real i 0 si és un camp quadràtic imaginari. La teoria dels camps quadràtics reals és essencialment la teoria de l'equació de Pell.

El ranc és positiu per a tots els camps numèrics ademés de $ℚ$ i els camps quadràtics imaginaris, que tenen ranc 0. El tamany de les unitats es medix en general per mig d'un determinant denominat regulador. En principi, la base de les unitats pot calcular-se de forma eficient; encara que en la pràctica els càlculs són prou complicats quan $n$ és gran.

La torsió en el grup d'unitats és el conjunt de totes les raïls de l'unitat de $K$ , que formen un grup cíclico finito. Per a un camp numèric en a lo manco una incrustación real, la torsió deu ser sol ${1,-1}$ . Hi ha camps numèrics, per eixemple, la majoria dels cossos quadràtics imaginaris, que no tenen incrustaciones reals, també posseïxen ${1,-1}$ per a la torsió del seu grup d'unitats.

Els camps totalment reals són especials sobre les unitats. Si $L / K$ és una extensió finita de camps numèrics en grau major que 1 i els grups d'unitats per als número entero de $L$ i $K$ tenen el mateix ranc, llavors $K$ és totalment real i $L$ és una extensió quadràtica totalment complexa. Ho contrarie també es manté (un eixemple és $K$ igual als racionals i $L$ igual a un camp quadràtic imaginari; abdós tenen ranc d'unitat 0).

La teorema no solament s'aplica a l'orde màxim $O K$ sino a qualsevol orde $O \subset O K$ .^[2]

Existix una generalisació de la teorema de l'unitat per Helmut Hasse (i més vesprada per Claude Chevalley) per a descriure l'estructura del grup de unitats $S$ , determinant el ranc del grup unitari en localisacions d'anells d'número entero. Ademés, s'ha determinat l'estructura del mòdul de Galois de $ℚ \oplus O K, S \otimes ℤ ℚ$ .^[3]

Regulador

Suponga's que K és un camp numèric i $u_{1}, \dots, u_{r}$ són un conjunt de generadors per al grup unitari de K raïls mòdul de l'unitat. Hi haurà $r + 1$ llocs arquimedianos de K, ya siguen reals o complexos. Per a $u \in K$ , s'escriu $u^{(1)}, \dots, u^{(r + 1)}$ per a les diferents incrustaciones en $ℝ$ o $ℂ$ i s'establix $N j$ en 1 o 2 si la incrustación corresponent és real o complexa, respectivament. Llavors, la matriu $r \times (r + 1)$ ${(N_{j} \log | u_{i}^{(j)} |)}_{i = 1, \dots, r, j = 1, \dots, r + 1}$ té la propietat de que la suma de qualsevol fila és zero (perque totes les unitats tenen la norma 1 i el logaritmo de la norma és la suma de les entrades en una fila). Açò implica que el valor absolut $R$ del determinant de la submatriz format en eliminar una columna és independent de la columna. El número $R$ es denomina regulador del camp numèric algebraic (no depén de l'elecció dels generadors $o i$ ). Medix la densitat de les unitats: si el regulador és menut, significa que hi ha moltes unitats.

El regulador té la següent interpretació geomètrica. L'aplicació que relaciona una unitat $o$ al vector en entrades $N_{j} \log | u^{(j)} |$ té una image en el subespacio dimensional $r$ de $ℝ r + 1$ que consta de tots els vectores les entrades dels quals tenen una suma 0 i, segons la teorema de l'unitat de Dirichlet, l'image és una ret en este subespacio. El volum d'un domini fonamental d'esta ret és $R Plantilla:Sqrt$ .

El regulador d'un camp numèric algebraic de grau superior a 2 sol ser prou complicat de calcular, encara que ara existixen paquets d'àlgebra informàtica que poden fer-ho en molts casos. Per lo general, és molt més fàcil calcular el producte $hR$ del número de classe $h$ i el regulador usant la fòrmula del número de classe, i la principal dificultat per a calcular el número de classe d'un camp numèric algebraic sol ser el càlcul del regulador.

Eixemples

Un domini fonamental en l'espai logarítmic del grup d'unitats del camp cúbic cíclico $K$ obtingut en unir a $ℚ$ una raïl de $f (x) = x 3 + x 2 - 2 x - 1$ . Si $α$ denota una raïl de $f (x)$ , llavors un conjunt d'unitats fonamentals és ${ε 1, ε 2}$ , a on $ε 1 = α 2 + α - 1$ i $ε 2 = 2 - α 2$ . L'àrea del domini fonamental és aproximadament 0,910114, per lo que el regulador de $K$ és aproximadament 0,525455.

El regulador d'un cos quadràtic, o dels sancers racionals, és 1 (ya que el determinant d'una matriu 0 × 0 és 1).
El regulador d'un cos quadràtic és el logaritmo del seu unitat fonamental: per eixemple, el de

ℚ(Plantilla:Sqrt)

és

log Plantilla:Sfrac

.

Açò es pot vore de la següent manera. Una unitat fonamental és

Plantilla:Sfrac

, i les seues imàgens segons les dos incrustaciones en

ℝ

són

Plantilla:Sfrac

i

Plantilla:Sfrac

. Llavors, la matriu

r \times (r + 1)

és

[1 \times \log | \frac{\sqrt{5} + 1}{2} |, 1 \times \log | \frac{- \sqrt{5} + 1}{2} |] .

El regulador d'un cos cúbic cíclico $ℚ(α)$ , a on $α$ és una raïl de $x 3 + x 2 - 2 x - 1$ , és aproximadament 0.5255. Una base del grup d'unitats modular raïls de l'unitat és ${ε 1, ε 2}$ a on $ε 1 = α 2 + α - 1$ i $ε 2 = 2 - α 2$ .^[4]

Reguladors superiors

Un regulador superior es referix a la construcció d'una funció en un K-grup algebraic en índex $n > 1$ que eixercita el mateix paper que el regulador clàssic per al grup d'unitats, que és un grup $K 1$ . S'ha estat desenrollant una teoria de tals reguladors, en el treball d'Armand Borel i uns atres. Tals reguladors superiors juguen un paper, per eixemple, en les conjectura de Beilinson, i s'espera que intervinguen en les evaluacions de certes funcions L en valors sancers de l'argument.^[5] Vore també regulador de Beilinson.

Regulador de Stark

La formulació de les conjectura de Stark va dur a Harold Stark a definir lo que ara es diu el regulador de Stark, similar al regulador clàssic com a determinant de logaritmos d'unitats, adjunt a qualsevol representació de Artin.^[6]^[7]

Regulador $p$ -ádico

Siga $K$ un cos d'número algebraico i per a cada primer $P$ de $K$ per damunt d'algun cosí racional fix $p$ , es denomina $O P$ a les unitats locals en $P$ ; i siga $O 1, P$ el subgrup d'unitats principals en $O P$ . Establint que

U_{1} = \prod_{P | p} U_{1, P} .

Llavors, es denomina $I 1$ al conjunt d'unitats globals $ε$ que s'assignen a $O 1$ a través de la incrustación diagonal de les unitats globals en $I$ .

Ya que $I 1$ és un subgrup d'índex finito de les unitats globals, és un grup abeliano de ranc $r 1 + r 2 - 1$ . El regulador $p$ -ádico és el determinant de la matriu formada pels logaritmos $p$ -ádicos dels generadors d'este grup. La conjectura de Leopoldt establix que este determinant és distint de zero.^[8]^[9]

Vore també

Referències

↑ Elstrodt 2007, §8.D
↑ Stevenhagen, P. (2012). Number Rings, p. 57.
↑ Neukirch, Schmidt y Wingberg, 2000, proposition VIII.8.6.11.
↑ Cohen 1993, Table B.4
↑ Bloch, Spencer J. (2000). Higher regulators, algebraic $K$ -theory, and zeta functions of elliptic curves (vol. 11), Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2114-8.
↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
↑ (1999).«Stark's Conjectures».
↑ Neukirch et al. (2008) p. 626–627
↑ Iwasawa, Kenkichi (1972). Lectures on $p$ -adic $L$ -functions (vol. 74), Princeton, NJ: Princeton University Press and University of Tòquio Press, pp. 36–42. ISBN 0-691-08112-3.

Bibliografia

Elstrodt, Jürgen (2007). “The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)” (PDF). Clay Mathematics Proceedings.
Lang, Serge (1994). Algebraic number theory, 2nd edició (vol. 110), New York: Springer Science+Business Mija. ISBN 0-387-94225-4.
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Berlín: Springer-Verlag, p. 322. ISBN 978-3-540-65399-8.
Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000). Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Berlín: Springer-Verlag, p. 323. ISBN 978-3-540-66671-4.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema de las unidades de Dirichlet» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Elstrodt 2007, §8.D

[2] Stevenhagen, P. (2012). Number Rings, p. 57.

[FOOTNOTENeukirchSchmidtWingberg2000{{{c}}}proposition_VIII.8.6.11-3] Neukirch, Schmidt y Wingberg, 2000, proposition VIII.8.6.11.

[4] Cohen 1993, Table B.4

[Bloch-5] Bloch, Spencer J. (2000). Higher regulators, algebraic $K$ -theory, and zeta functions of elliptic curves (vol. 11), Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2114-8.

[6] Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».

[7] (1999).«Stark's Conjectures».

[NSW6267-8] Neukirch et al. (2008) p. 626–627

[9] Iwasawa, Kenkichi (1972). Lectures on $p$ -adic $L$ -functions (vol. 74), Princeton, NJ: Princeton University Press and University of Tòquio Press, pp. 36–42. ISBN 0-691-08112-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Enunciat

Regulador

Eixemples

Reguladors superiors

Regulador de Stark

Regulador p-ádico

Vore també

Referències

Bibliografia

Referències

Regulador $p$ -ádico