Teoria d'número algebraico

La teoria d'número algebraico o teoria algebraica de números és una branca de la teoria dels números en la qual el concepte de número s'expandix als número algebraico, els quals són les raïls dels polinomis en coeficients racionals.

Un camp de números algebraic és una extensió finita (algebraica) del camp dels número racional. l'anell de sancers d'un camp de números algebraic és el conjunt dels sancers en dit camp, és dir, el subconjunt del camp que consta dels elements que són raïls de polinomis en coeficients sancers.

Es pot vore, i tractar, un camp de números algebraic com un anàlec dels racionals, i al seu anell de sancers com un anàlec dels sancers. Ara be, l'analogia no és perfecta: algunes de les propietats familiars dels racionals i els sancers no es conserven, per eixemple, la factorización única. (La teoria d'ideals suplix en part la falta d'factorización única.)

Els camps d'número algebraico, aixina com els camps de funcions, són cridats camps globals. Gran part de la teoria es pot desenrollar de manera paralela per a abdós tipos d'objectes. La localisació consistix en el passage d'un camp global a un camp local: en el cas dels camps de funcions, este procediment consistix simplement en dirigir la mirada a un punt en particular de la superfície o varietat estudiada, i concentrar-se en cóm les funcions es comporten en la seua veïnat immediat.

Història de la teoria d'número algebraico

Diofanto

Els començos de la teoria d'número algebraico es remonten a les equacions de Diofanto,^[1] cridat aixina pel matemàtic Alejandrian de el III, Diofanto, que va estudiar i va desenrollar métodos per a la solució d'alguns tipos d'equacions diofánticas. Un problema diofántico típic és trobar dos número entero x i i tals que la seua suma i la suma dels seus quadrats siguen iguals a dos números donats A i B, respectivament:

A = x + y

B = x^{2} + y^{2} .

Les equacions diofantinas han segut estudiades per mils d'anys. Per eixemple, les solucions de l'equació quadràtica diofantina x² + i² = z² són expressades per les ternes pitagórico, originalment resolts per lo babilonios (c. 1800 AC).^[2] Les solucions per a les equacions diofantinas llineals, tals com 26x + 65i = 13, es poden calcular utilisant l'algoritme de Euclides (V AC).^[3]

La principal obra de Diofanto va ser la ARITHMETICA de la qual ha sobrevixcut solament una part.

Fermat

L'última teorema de Fermat va ser primer conjecturado per Pierre de Fermat en 1637, famós en el marge d'una còpia de "Arithmetica" a on va afirmar que tenia una prova que era massa gran per a encaixar en el marge. No es va publicar cap prova en èxit fins a 1995, a pesar dels esforços d'innumerables matemàtics durant els 358 anys transcorreguts. El problema no resolt va estimular el desenroll de la teoria algebraica dels números en el XIX i la demostració del teorema de la modularidad en el XX.

Gauss

Una de les obres fundadores de la teoria algebraica dels números, les Disquisitiones Arithmeticae (Llatí: Investigacions Aritmètiques) és un llibre de text de teoria de números escrit en llatí^[4] per Carl Friedrich Gauss en 1798 quan Gauss tenia 21 anys i publicat per primera volta en 1801 quan tenia 24 anys. En este llibre, Gauss reunix els resultats de la teoria dels números obtinguts per matemàtics com Fermat, Euler, Lagrange i Legendre i afig nous i importants resultats propis. Abans de la publicació de les Disquisitiones, la teoria dels números consistia en una colecció de teoremes i #conjectura aïllades. Gauss va reunir el treball dels seus predecessors junt en el seu propi treball original en un marc sistemàtic, va reblir estanys, va corregir proves poc sòlides i va ampliar el tema de numeroses maneres.

Les Disquisitiones varen ser el punt de partida per al treball d'atres matemàtics europeus de el XIX, com Ernst Kummer, Peter Gustav Lejeune Dirichlet i Richard Dedekind. Moltes de les anotacions de Gauss són, en efecte, anuncis de les seues pròpies investigacions, algunes de les quals varen quedar inèdites. Als seus contemporàneus varen deure semblar-los especialment crípticas; ara podem llegir-les com si contingueren els germens de les teories de les funcions L i de la multiplicació complexa, en particular.

Dirichlet

En un parell d'artículs en 1838 i 1839 Peter Gustav Lejeune Dirichlet va provar la primera fòrmula de número de classe, para forma quadràticas (més tart refinada pel seu alumne Leopold Kronecker). La fòrmula, que Jacobi va calificar com un resultat que "toca lo màxim de la perspicàcia humana", va obrir el camí per a obtindre resultats similars sobre number fields més generals.^[5] Basat en la seua investigació de l'estructura del grup d'unitats de camp quadràtics, va demostrar el teorema de les unitats de Dirichlet, un resultat fonamental en la teoria algebraica de números.^[6]

Primer va usar el principi del caseller, un argument bàsic de conteo, en la prova d'una teorema en l'aproximació diofántica, més tart anomenat aixina per ell teorema d'aproximació de Dirichlet. Va publicar importants contribucions a l'última teorema de Fermat, per al que va demostrar els casos n = 5 i n = 14, i a la llei de reciprocitat biquadràtica.^[5] El problema del divisor de Dirichlet, per al qual va trobar els primers resultats, seguix sent un problema sense resoldre en la teoria de números a pesar de les contribucions posteriors d'atres investigadors.

Nocions bàsiques

Falta d'factorización única

Una propietat important de l'anell de sancers és que satisfà el teorema fonamental de l'aritmètica, que cada sancer (positiu) té una factorización en un producte de número primo, i esta factorización és única fins a l'orde dels factors. Açò pugues no ser cert en l'anell de sancers $O$ d'un camp numèric algebraic $K$ .

Un element primer és un element $p$ de $O$ tal que si $p$ dividix un producte $ab$ , llavors dividix un dels factors $a$ o $b$ . Esta propietat està estretament relacionada en la primalidad en els número entero, perque qualsevol número entero positiu que satisfà esta propietat és $1$ o un número primo. No obstant, és estrictament més dèbil. Per eixemple, $-2$ no és un número primo perque és negatiu, pero és un element primer. Si es permeten factorización en elements primers, llavors, inclús en els número entero, hi ha factorización alternatives com

6 = 2 \cdot 3 = (- 2) \cdot (- 3) .

En general, si $o$ és una unitat, és dir, un número en un invers multiplicativo en $O$ , i si $p$ és un element primer, llavors $up$ és també un element primer. Es diu que els números com $p$ i $up$ són associats. En els número entero, els cosins $p$ i $- p$ són associats, pero només un d'ells és positiu. En exigir que els número primo siguen positius se selecciona un únic element d'entre un conjunt d'elements primers associats. No obstant, quan K no són els número racional, no hi ha un anàlec de la positividad. Per eixemple, en els sancers gaussianos $' Z [i]$ ,^[7] els números $1 + 2 i$ i $-2 + i$ estan associats perque el segon és el producte del primer per $i$ , pero no hi ha forma de senyalar un com més canònic que l'atre. Açò du a equacions com

5 = (1 + 2 i) (1 - 2 i) = (2 + i) (2 - i),

que demostren que en $Z [i$ , no és cert que les factorización siguen úniques fins a l'orde dels factors. Per esta raó, s'adopta la definició d'factorización única utilisada en domini d'factorización únicas (UFDs). En un UFD, els elements primers que apareixen en una factorización només s'espera que siguen únics fins a les unitats i la seua orde.

No obstant, inclús en esta definició més dèbil, molts anells de sancers en camps numèrics algebraics no admeten una factorización única. Existix un obstàcul algebraic cridat grup de classes ideals. Quan el grup de classes ideals és trivial, l'anell és un UFD. Quan no ho és, hi ha una distinció entre un element primer i un element irreducible. Un element irreducible $x$ és un element tal que si $x = yz$ , llavors, yz és una unitat. Estos són els elements que no es poden factorizar més. Cada element de O admet una factorización en elements irreducibles, pero pot admetre més d'una. Açò es deu a que, mentres que tots els elements primers són irreducibles, alguns elements irreducibles poden no ser primers. Per eixemple, considerem l'anell $Z [\sqrt Plantilla:Overline$ .^[8] En este anell, els números $3$ , $2 + \sqrt Plantilla:Overline$ i $2 - \sqrt Plantilla:Overline$ són irreducibles. Això significa que el número $9$ té dos factorización en elements irreductibles,

9 = 3^{2} = (2 + \sqrt{- 5}) (2 - \sqrt{- 5}) .

Esta equació mostra que $3$ dividix el producte $(2 + \sqrt Plantilla:Overline)(2 - \sqrt Plantilla:Overline) = 9$ . Si $3$ fora un element primer, llavors dividiria $2 + \sqrt Plantilla:Overline$ o $2 - \sqrt Plantilla:Overline$ , pero no ho fa, perque tots els elements divisibles per $3$ són de la forma $3 a + 3 b \sqrt Plantilla:Overline$ . De manera similar, $2 + \sqrt Plantilla:Overline$ i $2 - \sqrt Plantilla:Overline$ dividixen el producte $32$ , pero cap d'estos elements dividix a $3$ , per lo que cap d'ells és primer. As there is no sense in which the elements $3$ , $2 + \sqrt Plantilla:Overline$ i $2 - \sqrt Plantilla:Overline$ ca be made equivalent, unique factorization fails in $Z [\sqrt Plantilla:Overline]$ . Unlike the situation with units, where uniqueness could be repaired by weakening the definition, overcoming this failure requires a new perspective.

Factorización en ideals cosins

Si $I$ és un ideal en $O$ , llavors sempre hi ha una factorización $I = 𝔭_{1}^{e_{1}} \dots 𝔭_{t}^{e_{t}},$

a on cada $𝔭_{i}$ és un ideal primer, i a on esta expressió és única fins a l'orde dels factors. En particular, açò és cert si $I$ és l'ideal principal generat per un sol element. Est és el sentit més fort en el que l'anell de sancers d'un camp numèric general admet una factorización única. En el llenguage de la teoria dels anells, es diu que els anells de sancers són dominis Dedekind.

Quan $O$ és un UFD, cada ideal primer està generat per un element primer. En cas contrari, hi ha ideals cosins que no són generats per elements primers. En $Z [\sqrt{Overline$ , per eixemple, l'ideal $(2, 1 + \sqrt Plantilla:Overline$ és un ideal primer que no pot ser generat per un sol element.

Històricament, l'idea de factorizar ideals en ideals cosins va ser precedida per l'introducció de Ernst Kummer dels números ideals. Estos són números que es troben en un camp d'extensió $I$ de $K$ . Este camp d'extensió es coneix ara com el camp de classe de Hilbert. Pel teorema de l'ideal principal, tot ideal primer de $O$ genera un ideal principal de l'anell de sancers de $I$ . Un generador d'este ideal principal es diu número ideal. Kummer els va utilisar com a substitut del fracàs de la factorización única en camp ciclotòmic. Açò va dur finalment a Richard Dedekind a introduir un precursor dels ideals i a demostrar la factorización única dels ideals.

Un ideal que és primer en l'anell de sancers d'un camp numèric pot deixar de ser-ho quan s'estén a un camp numèric major. Considerem, per eixemple, els número primo. Els ideals corresponents $p Z$ són ideals cosins de l'anell $Z$ . No obstant, quan este ideal s'estén als sancers de Gauss per a obtindre $p Z [i]$ }, pugues o no ser primer. Per eixemple, la factorización $2 = (1 + i)(1 - i)$ implica que

2 𝐙 [i] = (1 + i) 𝐙 [i] \cdot (1 - i) 𝐙 [i] = ((1 + i) 𝐙 [i])^{2};

Note's que com $1 + i = (1 - i) \cdot i$ , els ideals generats per $1 + i$ i $1 - i$ són els mateixos. Una resposta completa a la pregunta de quina ideals seguixen sent primers en els sancers gaussianos la proporciona el Teorema de Fermat sobre sumes de dos quadrats. Implica que per a un número primo impar $p$ , $p Z [i]$ és un ideal primer si $p \equiv 3 (mod 4)$ i no és un ideal primer si $p \equiv 1 (mod 4)$ . Açò, junt en l'observació de que l'ideal $(1 + i) Z [i]$ és primer, proporciona una descripció completa dels ideals cosins en els sancers de Gauss. Generalisar este senzill resultat a anells de sancers més generals és un problema bàsic en la teoria algebraica dels números. La teoria de camps de classes conseguix este objectiu quan K és una extensió abeliana de Q (és dir, una extensió de Galois en abeliano grup de Galois).

Grup de classe ideal

La factorización única falla si i només si hi ha ideals cosins que fallen en ser principals. L'objecte que medix el fracàs dels ideals cosins en ser principals es diu grup de classe ideal. Definir el grup de classes ideals requerix ampliar el conjunt d'ideals d'un anell de sancers algebraics de manera que admeten una estructura de grup. Això es realisa per mig de la generalisació d'ideals a ideals fraccionarios. Un ideal fraccionario és un subgrup aditiu $J$ de $K$ que està tancat per multiplicació d'elements de $O$ , lo que significa que $xJ \subseteq J$ if $x \in O$ . Tots els ideals de $O$ també són ideals fraccionales. Si $I$ i $J$ són ideals fraccionarios, llavors el conjunt $IJ$ de tots els productes d'un element en $I$ i un element en $J$ també és un fraccional ideal. Esta operació fa al conjuntode els fraccionales ideals no nuls un grup. L'identitat del grup és l'ideal $(1) = O$ , i l'inversa de $J$ és un (generalized) ideal quotient:

J^{- 1} = (O : J) = {x \in K : x J \subseteq O} .

Els ideals fraccionarios principals, és dir, els de la forma $Ox$ a on $x \in K \times$ , formen un subgrup del grup de tots els ideals fraccionarios distints de zero. El cocient del grup d'ideals fraccionarios distints de zero per este subgrup és el grup de classe ideal. Dos ideals fraccionarios $I$ i $J$ representen el mateix element del grup de classe ideal si i solament si existix un element $x \in K$ tal que $xI = J$ . Per lo tant, el grup de classe ideal fa que dos ideals fraccionarios siguen equivalents si un està tan prop de ser principal com l'atre. El grup de classe ideal generalment es denota $Cl K$ , $Cl O$ , o $Pic O$ (en l'últim notació que ho identifica en el grup de Picard en geometria algebraica).

El número d'elements en el grup de classe es denomina número de classe de K. El número de classe de $Q (\sqrt Plantilla:Overline)$ és 2. Açò significa que solament hi ha dos classes ideals, la classe d'ideals fraccionarios principals i la classe d'un ideal fraccionario no principal com $(2, 1 + \sqrt Plantilla:Overline)$ .

El grup de classe ideal té una atra descripció en térmens de divisorés. Estos són objectes formals que representen possibles factorización de números. El grup divisor $Div K$ es definix com el grup abeliano lliure generat pels ideals cosins de $O$ . Existix un homomorfisme de grup de $K \times$ , els elements no nuls de $K$ fins a la multiplicació, a $Divisió K$ . Supongam que $x \in K$ satisfà

(x) = 𝔭_{1}^{e_{1}} \dots 𝔭_{t}^{e_{t}} .

Llavors $div x$ es definix com el divisor

div x = \sum_{i = 1}^{t} e_{i} [𝔭_{i}] .

El núcleu de $div$ és el grup d'unitats en $O$ , mentres que el cokernel és el grup de classes ideals. En el llenguage del àlgebra homológica, açò diu que hi ha una seqüència exacta de grups abelianos (escrita multiplicativamente),

1 \to O^{\times} \to K^{\times} \overset{div}{\to} Div K \to Cl K \to 1.

Referències

↑ A. Mostowski, I. N. Sneddon , M. Stark. Introduction to Higher Algebra (2014) pp. 145–146. 474 pàgines ISBN 1483233413, ISBN 978-1483233413
↑ Aczel, pp. 14–15.
↑ Stark, pp. 44–47.
↑ «Disquisitiones Arithmeticae».Springer.Consultat el 13 de març de 2022.
↑ ^5,0 ^5,1 (2007).«Vida i obra de Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) - Clay Matemàtiques Procediments».
↑ (2002).«Métodos de teoria de números: tendències futures».
271–4.
↑ Esta notació indica l'anell obtingut de Z per adjoining a Z l'element i.
↑ Esta notació indica l'anell obtingut de Z per l'adjunt a Z l'element $\sqrt{Overline$ .

Bibliografia

Kenneth Ireland and Michael Rosen, "A Classical Introduction to Modern Number Theory, Second Edition", Springer-Verlag, 1990
Ian Stewart and David O. Tall, "Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem," A. K. Peters, 2002
Daniel A. Marcus, "Number Fields"

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teoría de números algebraicos» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] A. Mostowski, I. N. Sneddon , M. Stark. Introduction to Higher Algebra (2014) pp. 145–146. 474 pàgines ISBN 1483233413, ISBN 978-1483233413

[2] Aczel, pp. 14–15.

[3] Stark, pp. 44–47.

[4] «Disquisitiones Arithmeticae».Springer.Consultat el 13 de març de 2022.

[Elstrodt-5] 5,0 ^5,1 (2007).«Vida i obra de Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) - Clay Matemàtiques Procediments».

[Kanemitsu-6] (2002).«Métodos de teoria de números: tendències futures».
271–4.

[7] Esta notació indica l'anell obtingut de Z per adjoining a Z l'element i.

[8] Esta notació indica l'anell obtingut de Z per l'adjunt a Z l'element $\sqrt{Overline$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]