Grup d'unitats

En matemàtiques, i més particularment en àlgebra, un element o d'un anell unitari (A,+,×) es diu unitat d'este anell, o invertible en este anell, quan existix una aplicació v verificant sobre A:

• uv = vu = 1_A; (a on 1_A és l'element neutre de A para la segona llei).

L'element neutre 1_A i el seu opost −1_A sempre formen part de A. Les unitats d'un anell formen un grup sobre la multiplicació de l'anell, cridat grup d'unitats o grup d'invertibles d'este anell, a sovint denotat com O(A) o A^×, que no deu confondre's en el conjunt A* dels elements distints de zero de A.

Els grups d'unitats s'utilisen àmpliament en tota la teoria d'anells. En el cas particular del anell dels número entero algebraics d'un cos d'número algebraico, este grup té una estructura coneguda, gràcies al teorema de les unitats de Dirichlet.

Motivació

En un anell conmutativo unificat A, un múltiple d'un element a és el producte de a per un element b. El conjunt de múltiples de a, denotat com aA, és l'ideal principal generat per a. El comportament de a sobre la llei del producte depén de les propietats de l'ideal que genera. Els conceptes d'element irreducible o element primer són eixemples d'este concepte.

Si b és un element de A, llavors per a qualsevol o invertible en A, els elements a = ubib generen el mateix ideal principal. Les propietats de divisibilidad no permeten distinguir a i b: es diu que estan associats. Per eixemple, en l'anell Q[X] de polinomis en coeficients racionals, els polinomis (X² + 1) i (2X² + 2) estan associats. Estos dos polinomis, que són irreducibles en Q, dividixen (X⁴ - 1). L'unicitat de la factorización primera solament es pot garantisar si es associen els dos polinomis per a considerar-los solament com un representant únic.

El màxim comú divisor (mcd) i el mínim comú múltiple (mcm) també es definixen a partir dels ideals principals i la multiplicació del mòdul per un invertible. Per eixemple, en un anell conmutativo A, «el» mcm de a i b està ben definit si l'intersecció dels ideals generats per a i b és un ideal principal; i qualsevol element que ho genere és un mcm de a i b.

Sempre que siga possible, s'utilisa un únic representant d'una classe d'elements associats. Per eixemple, en el cas dels polinomis, s'agrega la condició unitària per a definir un polinomi irreducible (és dir, que el coeficient del seu monomi dominant siga igual a un). Per a l'anell Z dels número entero relatius, un número cridat primer deu ser positiu, mai es considera l'element negatiu, inclús si existira.

Definicions i propietats

Grup d'unitats

El grup O(A) dels inversos multiplicativos d'un anell unitari A (o grup d'unitats, o novament, si A és un cos, grup multiplicativo) és el grup d'elements simetrisables del monoide (A, ×).

És per tant funtorial sobre A, és dir, que per restricció, qualsevol morfismo entre dos anells induïx un homomorfisme de grups entre els seus grups d'invertibles.

En particular, si C és un subanillo unificat de A, llavors el seu grup d'unitats O(C) és un subgrup de O(A).

Divisibilidad

(Si l'anell no és conmutativo, existixen construccions similars en invertir a la dreta i a l'esquerra; si és conmutativo, les dos construccions coincidixen).

En un anell unificat, es diu que x està associat en i si existix un element o invertible tal que x = uy. Clarament és una relació d'equivalència (les seues classes estan ademés en les òrbites d'acció del grup d'unitats O(A) en A per multiplicació a l'esquerra).

Existix una relació binaria denominada dividix definida per:

x dividix a i (a la dreta) si hi ha un element a de l'anell tal que i = ax.

És un conjunt preordenado (és dir, posseïx una relació reflexiva i una relació transitiva) en el que la relació d'associació és compatible:

si x dividix a i llavors qualsevol element associat en x dividix a qualsevol element associat en i.

De fet, l'associació és més fina que la relació d'equivalència deduïda del preorden:

si x i i estan associats, llavors x dividix a i i i dividix a x.

Per a un domini d'integritat, la conversió llògica és verdadera, és dir, estes dos relacions d'equivalència coincidixen.

El seu relació d'equivalència és llavors la mateixa, per lo que la relació de preorden dividix a induïx una relació d'orde en les classes (un conjunt preordenado) d'elements associats.

El conjunt de classes d'associació, proveït en este orde, és isomorfo al conjunt d'ideals principals a l'esquerra de l'anell, ordenat per la relació «conté». En efecte,

Enunciat: a dividix a b si i solament si Aa conté a Ab

(per lo tant, a i b estan associats si i solament si Aa=Ab).

Vore també

• Grup llineal general