Número entero algebraic

En teoria de números, un número entero algebraic és un número complejo que és la raïl d'algun polinomi mónico (sent el coeficient principal 1) en coeficients en ℤ. El conjunt de tots els sancers algebraics és tancat baix l'adició i multiplicació i també és un subanillo d'número complejo denotat per mig de A. L'anell A és la clausura integral dels sancers regulars ℤ en els número complejo.

l'anell dels número entero d'un cos numèric K, denotat per mig de O_K , és l'intersecció de K i A: este també pot ser caracterisat com el màxim orde del cos K.

Cada sancer algebraic pertany a l'anell de sancers d'algun cos numèric. Un número x és un sancer algebraic si i solament si l'anell ℤ[x] és finitamente generat com un grup abeliano, és dir, com a mòdul -ℤ.

Definicions

Archiu:Algebraic integers in the complex plane.png

Número entero algebraics representats com a punts rojos en el pla complex. Els valors 0, 1 i i estan indicats.

Les següents definicions d'un número entero algebraic són equivalents; Siga K un cos numèric (per eixemple, una extensió finita de ℚ, en atres paraules, K = ℚ(θ) per a algun θ ∈ ℂ pel teorema de l'element primitiu.

• α ∈ K és un sancer algebraic si existix un polinomi mónico f(x) ∈ ℤ[x] tal que f(α) = 0.
• α ∈ K és un sancer algebraic si el polinomi mónico mínim de α sobre ℚ pertany a ℤ[x].
• α ∈ K és un sancer algebraic si ℤ[α] és un mòdul -ℤ finitamente generat.
• α ∈ K és un sancer algebraic si existix un submòdul -ℤ M ⊂ ℂ finitamente generat tal que αM ⊆ M.

Els número entero algebraics són un cas especial d'elements integrals d'una extensió d'anell. En particular, un sancer algebraic és un element integral d'una extensió finita K/ℚ.

Propietats

Per a un número algebraico a existix un sancer racional p de modo que na és un sancer algebraic

• Entre els elements de ℚ, els únics que són sancers algebraics són els número entero 0, ±1, ±2, ...
• l'equació mínima d'un sancer algebraic és en coeficient principal 1, els demés coeficients són número entero.
• si m i n són sancers algebraics tant la suma com el producte d'ells són sancers algebraics.
• el conjunt de tots els sancers algebraics forma un anell conmutativo unitari.

Bibliografia

Abraham Robinson, Numbers and Ideals, Sant Francisco Holden-Day, 1965.

Vore també

• Número algebraico
• Sancer gaussiano
• Sancer de Eisenstein
• Raïl de l'unitat
• Teorema de les unitats de Dirichlet
• Unitat fonamental (teoria de números)

Referències

• Daniel A. Marcus, Number Fields, third edition, Springer-Verlag, 1977