Teorema de l'element primitiu

En teoria de cossos, la teorema de l'element primitiu és un resultat que caracterisa el grau finito de les extensions de cossos que poden ser generades per un sol element. Dit element generador es denomina element primitiu de l'extensió del cos, i l'extensió es diu extensió simple en este cas. La teorema establix que una extensió finita és simple si i solament si hi ha solament un número finito de cossos intermijos. Un resultat més antic, també cridat a sovint teorema de l'element primitiu, establix que cada extensió finita separable és simple; pot vore's com una conseqüència de la teorema anterior. Estes teoremes impliquen en particular que tot cos d'número algebraico sobre els número racional, i totes les extensions en les que abdós cossos són finitos, són simples.

Terminologia

Siga $E/F$ una extensió de cossos. Un element $\alpha \in E$ és un element primitiu per a $E/F$ si $E=F(\alpha ),$, és dir, si cada element de $E$ es pot escriure com una funció racional en $\alpha$ en coeficients en $F$. Si existix tal element primitiu, llavors $E/F$ es denomina extensió simple.

Si l'extensió del cos $E/F$ posseïx l'element primitiu $\alpha$ i és de grau finito $n=[E:F]$, llavors cada element x de I es pot escriure de forma única com

$x=f_{n-1}{\alpha }^{n-1}+\cdots +f_1\alpha +f_0,$

a on $f_i\in F$ per a tot i. És dir, el conjunt

$\{1,\alpha ,\dots ,{\alpha }^{n-1}\}$

és una base para I com un espai vectorial sobre F.

Eixemple

Si s'unix als número racional $F=\mathbb{Q}$ els dos número irracional $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$ per a obtindre l'extensió del cos $E=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ de grau 4, es pot demostrar que esta extensió és simple, és dir, $E=\mathbb{Q}(\alpha )$ per a un sol $\alpha \in E$. Prenent $\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$, les potències 1, α , α², α³ es poden expandir com combinacions llineals d'1, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{6}$ en coeficients sancers. Es pot resoldre este sistema d'equacions llineals para $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$ sobre $\mathbb{Q}(\alpha )$, per a obtindre $\sqrt{2}=\frac{1}{2}({\alpha }^3-9\alpha )$ i $\sqrt{3}=-\frac{1}{2}({\alpha }^3-11\alpha )$. Açò demostra que α és de fet un element primitiu:

$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}).$