Ideal principal

En matemàtiques, particularment dins de la teoria d'anells, un ideal principal és un ideal generat per un únic element.

A l'ideal $(a)$ també se li sol denotar com $Ra$.

La verificació de que dit conjunt és un ideal procedix com seguix:

• Si $ra$, $sa$ són dos elements de $(a)$, llavors $ra+sa$ també ho és posat que $ra+sa=(r+s)a$.
• Si $ra$ és un element de $(a)$ i $s$ és un element arbitrari de l'anell, $s(ra)=(rs)a$ i per tant $s(ra)$ també pertany a $(a)$.
• L'element zero pertany al conjunt $(a)$ lloc que $0=0a$.

Quan l'anell no és conmutativo, és necessari fer diferències entre ideals esquerres i drets.

En el cas d'anells conmutativos, els conceptes d'ideal esquerre i dret són equivalents.

Eixemples

Considere's l'anell R. Llavors el conjunt de tots els múltiples de 3 és l'ideal principal generat per 3, ya que un sancer n és múltiple de 3 precisament quan existix un número entero k tal que $n=k\cdot 3$.

Un ideal no té per qué ser sempre principal. Per eixemple, siga $\mathrm{A}={\mathbb{Z}}^2$ un anell commutativo, llavors ${\mathrm{I}}_1=2\mathbb{Z}\times \left\{0\right\}$ i ${\mathrm{I}}_2=\left\{0\right\}\times 2\mathbb{Z}$ són ideals principals de $\mathrm{A}$. Ara be, $\mathrm{I}={\mathrm{I}}_1+{\mathrm{I}}_2$ també és un ideal, encara que este no és principal.

Definició

L'anell íntegre K, que els seus ideals són tots principals es diu anell d'ideals principals. Tot anell euclídeo és un anell d'ideals principals.

Vore també

• Ideal
• Domini d'ideals principals