Domini d'ideals principals

Un domini d'ideals principals (DIP) és un domini d'integritat en el que tot ideal és principal (està generat per un sol element). Qualsevol domini d'ideals principals és també un domini d'factorización única, pero no al revés; açò és, que un domini sancer siga DFU és una condició necessària per a que siga un DIP. En estos dominis existix sempre el concepte de màxim comú divisor i el mínim comú múltiple, fet que no ocorre en els dominis d'integritat en general. El màxim comú divisor de $a$ i $b$ en un DIP és un element $d$ del anell tal que $⟨a,b⟩=⟨d⟩$.

Eixemples

Eixemples de dominis d'ideals principals:

• L'anell $\mathbb{Z}$ dels número entero.
• L'anell de polinomis en una variable en coeficients en el cos $𝕂$, $𝕂[x]$.
• L'anell dels sancers gaussianos, $\mathbb{Z}[i]$.
• L'anell dels sancers de Eisenstein, $\mathbb{Z}[\omega ]$ a on $\omega$ és una raïl cúbica de l'unitat en $ℂ$.

Eixemples de dominis íntegres que no són d'ideals principals:

• L'anell dels polinomis en una variable en coeficients sancers, $\mathbb{Z}[x]$. Basta considerar l'ideal generat per $2$ i $x$ i observar que dit ideal no pot ser generat per un sol element.

• Si $𝕂$ és un cos i $𝕂[x,y]$ és el seu anell de polinomis en dos variables, llavors $𝕂[x,y]$ no és domini d'ideals principals, puix l'ideal generat per $x$ i $y$ no pot generar-se per un sol element. Ademés este domini íntegre és un eixemple de domini d'factorización única que no és domini d'ideals principals.

Propietats

Siga R un domini íntegre, les següents proposicions són equivalents:

• R és un domini d'ideals principals.
• Cada ideal primer de R és principal.
• R és un domini d'factorización única i un domini de Dedekind. (Existixen DFU que no són DIP i Dominis de Dedekind que no són DIP, per eixemple $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ és un domini de Dedekind pero no un DIP).
• Cada ideal finitamente generat de R és principal i es complix la condició de cadena ascendent per a ideals principals.
• R admet una norma Dedekind-Hasse.(Les normes Dedekind-Hasse són una generalisació de les normes admeses en els dominis euclideos).