Ideal (teoria d'anells)

En àlgebra moderna, un ideal és una subestructura algebraica definida en la teoria d'anells. Els ideals generalisen, de manera fecunda, l'estudi de la divisibilidad entre els número entero cap a uns atres objectes matemàtics. D'esta manera, és possible enunciar versions molt generals de teoremes de l'aritmètica elemental, tals com el teorema chinenca del restant o el teorema fonamental de l'aritmètica, vàlits per als ideals. Es pot comparar també esta noció en la de subgrup normal per a l'estructura algebraica de grup en el sentit de que facilita definir la noció d'anelle cocient com una extensió natural de la noció de grup cocient.

Aspecte històric

La teoria dels ideals és relativament recent, ya que va ser creada pel matemàtic alemà, Richard Dedekind, a fins de el XIX. En dita época, una part de la comunitat matemàtica es va interessar en els número algebraico i, més concretament, en els sancers algebraics.

La qüestió consistix en saber si els sancers algebraics es comporten com els sancers relatius, particularment, pel que fa al seu descomposició en factors primers. Semblava clar, des del començ de el XIX que este no era sempre el cas. Per eixemple, el sancer 6 pot descompondre's, en l'anell $\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]$, en la forma $2\times 3$ o en la forma $(1+i\sqrt{5})(1-i\sqrt{5})$.

Ernst Kummer va senyalar llavors que la qüestió anterior va a dependre dels números en qüestió, i va inventar la noció de complexos ideals.

L'idea és fer que siga única la descomposició en factors primers afegint artificialment atres números (de la mateixa manera que s'afig i als número real sent $i^2=-1$ en la finalitat de dispondre de números per als quadrats negatius). Per a l'eixemple de més dalt, es van a "inventar" quatre números "ideals" a, b, c i d tals que:

$2=a\cdot b$

$3=c\cdot d$

$1+i\sqrt{5}=a\cdot c$

$1-i\sqrt{5}=b\cdot d$

Aixina, 6 es descompondrà de manera única en:

$6=a\cdot b\cdot c\cdot d$

Dedekind en 1871 torna a usar la noció de número ideal de Kummer i crea la noció d'ideal en un anell. S'interessa principalment pels anells dels sancers algebraics, és dir, anells conmutativos unitaris i íntegres. En este domini es troben els resultats més interessants sobre els ideals. Va crear el conjunt dels ideals d'un anell conmutativo, unitari i íntegre per a operacions semblants a l'adició i a la multiplicació dels sancers relatius.

La teoria dels ideals no solament va permetre un alvanç significatiu en l'àlgebra general, sino també en l'estudi de les curves algebraiques (geometria algebraica).

Definició

Un subconjunt $I$ no buit d'un anell $(A,+,\cdot )$ és un ideal per l'esquerra de $A$ si:

1. $I$ és un subgrup aditiu de $A$.
2. $\mathrm{\forall }(a,x)\in A\times I:a\cdot x\in I$ (El producte per l'esquerra d'un element de $I$ per un element de $A$ pertany a $I$).

i és un ideal per la dreta de $A$ si:

1. $I$ és un subgrup aditiu de $A$.
2. $\mathrm{\forall }(x,a)\in I\times A:x\cdot a\in I$ (El producte per la dreta d'un element de $I$ per un element de $A$ pertany a $I$).

Un ideal bilátero és un ideal per la dreta i per l'esquerra. En un anell conmutativo, les nocions d'ideal per la dreta, d'ideal per l'esquerra i d'ideal bilátero coincidixen i simplement es parla d'ideal.

Eixemples i propietats bàsiques

• Per a tot sancer relatiu $k$, $k\mathbb{Z}$ és un ideal de $\mathbb{Z}$.
• Si A és un anell, {0} i A sò ideals trivials de A. Estos dos ideals tenen un interés molt llimitat. Per esta raó es dirà ideal propi a tot ideal no trivial.

• Si A és un anell unitari i si $I$ és un ideal que conté a 1 llavors $I=A$. De modo més general, si, $I$ conté un element invertible (una unitat), llavors $I=A$.
• Els únics ideals en un cos $K$ són els ideals trivials.

Donat un element $a\in A$, el conjunt $(a):=\{ab:b\in A\}\subseteq A$ és un ideal. Ho cridem el ideal generat per $a$ (més avall es generalisa el concepte a l'ideal generat per un subconjunt). Llavors, si $A$ és un anelle íntegre, $(a)=(b)$ si i només si $b=au$, en $u\in A$ una unitat.

Vore també

• Estructura algebraica
• Anell