Teorema chinenca del restant

La teorema chinenca del restant és un resultat sobre congruèncias en teoria de números i les seues generalisacions en àlgebra abstracta. Va ser publicat per primera volta en el III pel matemàtic chinenc Sun Zi.

Enunciat de la teorema

Supongam que n₁, n₂, …, n_k són sancers positius coprimos dos a dos. Llavors, per a sancers daus a₁,a₂, …, a_k, existix un sancer x que resol el sistema de congruència simultànees

\begin{matrix} x & \equiv a_{1} (\mod n_{1}) \\ x & \equiv a_{2} (\mod n_{2}) \\ ⋮ \\ x & \equiv a_{k} (\mod n_{k}) \end{matrix}

Més encara, totes les soluciones x d'este sistema són congruents mòdul el producte $N = n_{1} n_{2} ... n_{k}$ .

De manera més general, les congruència simultànees poden ser resoltes si els n_i's són coprimos a parells. Una solució x existix si i solament si:

a_{i} \equiv a_{j} (\mod mcd (n_{i}, n_{j})) para todo i y j .

Totes les soluciones x són llavors congruents mòdul el mínim comú múltiple dels n_i.

Un enunciat modern en llenguage algebraic és que per a cada sancer positiu en factorisació en número primo

n = p_{1}^{r_{1}} \dots p_{k}^{r_{k}},

es té un isomorfisme entre un anell i la suma directa de les seues potències primeres^[1]

ℤ / n ℤ ≅ ℤ / p_{1}^{r_{1}} ℤ \oplus \dots \oplus ℤ / p_{k}^{r_{k}} ℤ .

Demostració de la teorema

Existència de la solució

Siga N=n₁n₂...n_k i siga $N_{i} = \frac{N}{n_{i}}$ per a i=1,...,k. Com tots els mòduls n_i són coprimos entre sí, N_i i n_i són a la seua volta coprimos entre sí, després per l'Identitat de Bezout s'assegura l'existència de dos sancers r_i i s_i tals que $r_{i} n_{i} + s_{i} N_{i} = 1$ . En tals condicions, prenent les classes d'equivalència en abdós costats de l'identitat, es té que para cada i, i per a cada j ≠ i:

\begin{matrix} s_{i} N_{i} \equiv 1 (\mod n_{i}) \\ s_{i} N_{i} \equiv 0 (\mod n_{j}) \end{matrix}

Per tant, definint

x : = \sum_{i = 1}^{k} a_{i} s_{i} N_{i} = a_{1} s_{1} N_{1} + a_{2} s_{2} N_{2} + \dots + a_{k} s_{k} N_{k},

és clar que x és la solució buscada, degut a que en prendre classes d'equivalència en cada n_i, tots els sumants s'anulen a excepció del propi a_is_iN_i, i per tant, $x \equiv a_{i} (\mod n_{i})$ per a tot i =1,...,k. D'esta manera, queda demostrat que x és solució del sistema.

Unicitat de la solució

En el cas de que tots els n_i siguen coprimos, eixa solució és l'única existent mòdul N. Per a demostrar-ho, supongam que existiren dos número entero x i i que són solucions distintes, llavors per a i =1,2,...,k:

\begin{matrix} x \equiv a_{i} (\mod n_{i}) \\ y \equiv a_{i} (\mod n_{i}) \end{matrix}

Açò implica que $x - y \equiv 0 (\mod n_{i})$ , i per ser tots els n_i coprimos, se seguix que el producte dels mòduls N=n₁n₂...n_k també dividix a x - i, és dir, $x \equiv y (\mod N)$ .

Per tant, tota solució del sistema és congruent en x en mòdul N, tal i com s'havia establit prèviament en la formulació de la teorema.

Generalisació per a anells

La teorema chinenca dels restants es pot generalisar sobre qualsevol Anell $R$ , per mig del concepte d'ideals coprimos o comaximales.

Dos ideals $I$ i $J$ són coprimos si existixen elements $i \in I$ i $j \in J$ tals que $i + j = 1$ .

Esta relació substituïx a l'identitat de bezout en les proves relacionades en esta generalisació, que són prou semblades a les relatives a número entero. La generalisació pot enunciar-se de la següent manera:^[2]^[3]

Sean $I 1, ..., I k$ ideals bilaterals d'un anell $R$ i siga $I$ l' intersecció dels ideals . Si els ideals són coprimos dos a dos, es dona el següent isomorfisme:

\begin{matrix} R / I & \to (R / I_{1}) \times \dots \times (R / I_{k}) \\ x mod I & \mapsto (x {mod I}_{1}, \dots, x {mod I}_{k}), \end{matrix}

entre l'anelle cocient $R / I$ i el producte directe (o producte cartesiano) dels anells $R / I_{i},$ a on " $x mod I$ " denota l'image de l'element $x$ en el cocient de l'anell definit per l'ideal $I .$ Més encara, si $R$ és conmutativo, llavors l'intersecció d'ideals coprimos dos a dos és igual al seu producte; açò és:

$I = I_{1} \cap I_{2} \cap \dots \cap I_{k} = I_{1} I_{2} \dots I_{k},$

Si $I_{i}$ i $I_{j}$ són coprimos para tot $i \neq j$ .

Corolari: Teorema Chinenca dels Restants

Siga $R$ un anilo conmutativo en unitat no trivial, i $I_{1}, I_{2}, ..., I_{n}$ ideals coprimos. Llavors, per a tot $a_{1}, ..., a_{n} \in R$ el sistema de congruència

$\begin{matrix} x & \equiv a_{1} (\mod I_{1}) \\ x & \equiv a_{2} (\mod I_{2}) \\ ⋮ \\ x & \equiv a_{k} (\mod I_{k}) \end{matrix}$

admet una solució en $R$ . Ademés si $a$ i $b$ són solucions, llavors $a - b \in I_{1} ... I_{n}$ (és dir, són congruents), i recíprocament si $a$ és solució i $i \in I_{1} ... I_{n}$ llavors $a + i$ és solució.

Referències

(1990).«A Classical Introduction to Modern Number Theory».Springer-Verlag.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema chino del resto» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Ireland & Rosen 1990

[2] Ireland & Rosen 1990

[Sengupta-3] Sengupta 2012

[1]

[2]

[3]