Mínim comú múltiple

Archiu:Symmetrical 5-set Venn diagram LCM 2 3 4 5 7.svg

Mínim comú múltiple

En matemàtiques, el mínim comú múltiple (mcm o m.Plantilla:Nbspc.Plantilla:Nbspm.) de dos o més número natural és el menor múltiple comú de tots ells. Este concepte està lligat a les fraccions d'número natural, pero es pot aplicar també als sancers negatius i els número complejo. El mínim comú múltiple és el número menor dels múltiples comuns. Per eixemple, si els múltiples comuns de 2 i 3 són 6,12,18..., el mínim comú múltiple -o mcm- és 6, ya que és el menor dels múltiples comuns de 2 i 3.

Càlcul del mínim comú múltiple (m.Plantilla:Nbspc.Plantilla:Nbspm.)

Partint de dos o més números i per descomposició en factors germans, expressats com a producte de factors primers, el seu mínim comú múltiple serà el resultat de multiplicar tots els factors comuns i no comuns elevats a la major potència, per eixemple el mcm de 72 i 50 serà

Archiu:Divisores 50 72.svg

$\begin{array}{cc}72& 2\\ 36& 2\\ 18& 2\\ 9& 3\\ 3& 3\\ 1& \end{array}$ $72=2^3\cdot 3^2$

$\begin{array}{cc}50& 2\\ 25& 5\\ 5& 5\\ 1& \end{array}$ $50=2\cdot 5^2$

Prenent els factors en el seu major exponent, tenim que:

$\mathrm{MCM}(72,50)=2^3\cdot 3^2\cdot 5^2=1800$

Coneixent el màxim comú divisor de dos números, es pot calcular el mínim comú múltiple d'ells, que serà el producte d'abdós dividit entre el seu màxim comú divisor.

$\mathrm{mcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\mathrm{MCD}(a,b)}$

Propietats fonamentals

1. Si a és un sancer, $mcm(a,a)=a$. En general, $|mcm(a,b)|\ge |a|$
2. $mcm(a,b)=mcm(b,a)$, propietat conmutativa
3. $mcm(a,b)=b⟺a\mid b$, el mínim comú múltiple d'un número i un divisor és ell mateixa.
4. $mcm(a,b)=MCD(a,b)⟺|a|=|b|$
5. $mcm(a,b)=ab⟺MCD(a,b)=1$, el mínim comú múltiple de dos números és el seu producte si, i solament si, a i b són primers entre sí.
6. $MCD(mcm(a,b)/a,x)=1⟹mcm(x\cdot a,b)=x\cdot mcm(a,b)$.
7. $mcm(ak,bk)=k\cdot mcm(a,b)$.
8. Per a tres números: $mcm(a,b,c)=mcm(mcm(a,b),c)$. Per a més valors: $mcm(a,b\dots y,z)=mcm(mcm(a,b\dots y),z)$

Teoremes derivades

• $mcm(a,b,c)=abc⟺MCD(a,b,c)=1$. Açò es deu a les propietats 5 i 8
• $mcm(a,b,c)=abc*[a,b,c]/[a,b][b,c][c,a]$, a on $[x,y]:=MCD(x,y)$.
• $mcm(\frac{a}{d},\frac{b}{d})=mcm(\frac{m}{a},\frac{m}{b})$, a on $m:=mcm(a,b),d:=MCD(a,b)$. Fàcil de comprovar en la propietat 7.
• El mínim comú múltiple de dos número primo és el total de la seua multiplicació, conclusió directa de la propietat 5.
• El Màxim Comú Divisor d'un grup de números és un divisor del mínim comú múltiple de tals números.
• Deixe que {a, b ... i, z} siga un subconjunt dels número natural. Llavors, $mcm(a,b\dots y,z)\ge mcm(a,b\dots y)$, per les propietats 1 i 8.

Relació fonamental en MCD

L'equació que unix al mínim comú divisor i al Màxim Comú Múltiple és: $A\cdot B=mcm(A,B)\cdot MCD(A,B)$. També és descrit com 'si el producte de dos números ho dividim pel seu màxim comú divisor, dit cocient és el mínim comú múltiple'.

Per a demostrar-ho, deixe que X siga el Màxim Comú Divisor d'i B, $X:=MCD(A,B)$, per lo tant redefinirem $A=PX,B=QX$. En la pàgina de Màxim comú divisor es va demostrar que si $\mathrm{MCD}(a,b)=d$ llavors $\mathrm{MCD}(\frac{a}{d},\frac{b}{d})=1$. Si ho apliquem a A i B, obtenim que $\mathrm{MCD}(\frac{A}{d},\frac{B}{d})=\mathrm{MCD}(\frac{PX}{X},\frac{QX}{X})=\mathrm{MCD}(P,Q)=1$

Ara que P i Q són coprimos, podem aplicar la quinta propietat a ells: $mcm(PX,QX)=X\cdot mcm(P,Q)=X\cdot PQ$.

Finalment, reemplaçant: $A\cdot B=(PX)\cdot (QX)=PQ{X}^2$, i $mcm(A,B)*MCD(A,B)=(X\cdot PQ)\cdot (X)=PQ{X}^2$, aplegant a que $A\cdot B=mcm(a,b)\cdot MCD(a,b)$, que era lo que es volia demostrar. $◻$

Vore també

• Màxim comú divisor
• Número primo
• Mínim comú denominador
• Número natural