Domini d'factorización única

Un domini d'factorización única (DFU) és una estructura algebraica, específicament, és un domini d'integritat en el qual tot element es descompon de forma única (llevat producte per unitats) com a producte d'elements primers (o elements irreducibles). En els DFU es verifica que un element és primer si i només si és irreducible.

Eixemples

Per eixemple, l'anell dels número entero és un cas particular de DFU, pero per lo general, no tot anell és DFU; és fàcil comprovar que en l'anell $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ certs elements admeten més d'una factorización.

Aixina, $6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$, i els quatre factors són irreducibles no associats i no són unitats. És un eixemple d'Anell d'factorización, pero no única. De fet en este mateix anell els quatre factors no són ideals cosins, puix els ideals que generen en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ no ho són:

$2=𝔞\mathfrak{\cdot }𝔟$

$3=𝔠\mathfrak{\cdot }𝔡$

$(1+\sqrt{-5})=𝔞\mathfrak{\cdot }𝔠$

$(1-\sqrt{-5})=𝔟\mathfrak{\cdot }𝔡$

per lo tant

$6=𝔞\mathfrak{\cdot }𝔟\mathfrak{\cdot }𝔠\mathfrak{\cdot }𝔡$

Un resultat important sobre este tipo d'anells és que si A és un DFU llavors A[X] també ho és.

Proposicions

• Tot domini d'ideals principals és un domini d'factorización única.

• l'anell de número entero Z és un domini d'factorización única. Açò es coneix com el Teorema fonamental de l'aritmètica.

Vore també

• Domini d'integritat
• Domini d'ideals principals