Conjunt preordenado

Plantilla:Relació binaria 101 En matemàtica, especialment en teoria de l'orde, preórdenes són certes classes de relacions binàries que es relacionen en els conjunts parcialment ordenats. El nom cuasiorden és també una expressió comuna per a preórdenes. Moltes definicions teòriques per als conjunts parcialment ordenats es poden generalisar a preórdenes, pero l'esforç adicional de generalisació rarament es necessita. En tot hi ha camps d'us, tals com la definició de la convergència via rets en topología, a on els preórdenes no es poden substituir per conjunts parcialment ordenats sense perdre propietats importants.

Definició formal

Considere algun conjunt P i una relació binaria R en P. Llavors R és un preorden, o un cuasiorden, si és reflexiva i transitiva, és dir, per a tot a, b i c en P, tenim que:

$R=\{(a,b)\in P^2:R(a,b)\}$

És un conjunt preordenado, si complix:

1.- La relació R és reflexiva si tot element a de P està relacionat en si mateixa.

$\mathrm{\forall }a\in P:(a,a)\in R$

2.- La relació R és transitiva si un element a està relacionat en un atre b, i este b en un atre c, llavors l'element a esta també relacionat en el c.

$\mathrm{\forall }a,b,c\in P:((a,b)\in R\wedge (b,c)\in R)⟶(a,c)\in R$

Llavors en una relació binaria de preorden.

Si un preorden complix també la propietat simètrica para tot a, b de P, si a R b llavors b R a, (P, R) és una relació d'equivalència

Si un preorden complix també la propietat antisimètrica, és dir, a R b i b R a implica a = b, llavors (P, R) és un orde parcial.

És important diferenciar les següents tres propietats:

• La relació R és simètrica si un element a està relacionat en un atre b, llavors el b també està relacionat en el a.

$\mathrm{\forall }a,b\in P:(a,b)\in R⟶(b,a)\in R$

Per a tot a, b de P, si es complix que a està relacionada en b llavors b està relacionada en a.

• La relació R és asimètrica si un element a està relacionat en un atre b, llavors el b no està relacionat en el a.

$\mathrm{\forall }a,b\in P:(a,b)\in R⟶(b,a)\notin R$

Per a tot a, b de P, si es complix que a està relacionada en b llavors b no està relacionada en a.

• La relació R és antisimètrica si un element a està relacionat en b, i b està relacionat en a, llavors a = b.

$\mathrm{\forall }a,b\in P:((a,b)\in R\wedge (b,a)\in R)⟶a=b$

Eixemple

Un grafo dirigit, que té a lo manco un cicle, és preordenado ya que complix la propietat reflexiva i transitiva, i no és ni simètric ni antisimètric.