Cos quadràtic

En teoria d'número algebraico, un cos quadràtic és un cos d'número algebraico K de grau dos sobre Q. És senzill mostrar que el mapa d ↦ Q(√d) és un biyección des del conjunt de tots els sancers lliures de quadrats d ≠ 0, 1 al conjunt de tots els cossos quadràtics. Si d > 0 al corresponent cos quadràtic se li crida cos quadràtic real, i per a d < 0 es diu cos quadràtic imaginari o cos quadràtic complex, correspon a si els seus encaixos arquimedianos són reals o complexos.

Els cossos quadràtics han segut estudiats en gran profunditat, inicialment com a part de la teoria de forma quadràtica binaria. El restant són problemes sense resoldre. El problema del número de classes és important en particular.

Definició alternativa

Un cos quadràtic és un de la forma $Q(\xi )$ a on ξ és una raïl d'un polinomi quadràtic irreducible sobre ℚ. Tots els elements de tal cos són números de la forma $c+d\xi ,c,d\in Q$.

Per un atre costat si k i l són sancers racionals diferents lliures de quadrats, cap d'ells val 1, llavors $Q(\sqrt{k})\ne Q(\sqrt{l})$ , ya que $\sqrt{k}$ no està en $Q(\sqrt{l})$. Puix és impossible que existixquen dos número racional m i n que satisfacen l'igualtat $\sqrt{k}=m+n\sqrt{l}$

Anell de sancers

Artícul principal → Sancer quadràtic.

Donat un cos quadràtic $𝐐(\sqrt{d})$, a on d és un sancer lliure de quadrats, els sancers quadràtics són números que tenen la forma a + ωb, a on a, b són sancers, i a on ω està definit per mig de:

$\omega =\{\begin{array}{cc}\sqrt{d}& \text{si }d\equiv 2,3(\mathrm{mod}4)\\ \frac{1+\sqrt{d}}{2}& \text{si }d\equiv 1(\mathrm{mod}4)\end{array}$

L'anell de sancers quadràtics Z[ω] = {a + ωb : a, b ∈ Z} és un subanillo del cos quadràtic $𝐐(\sqrt{d})$. Per una atra part, Z[ω] és la clausura integral de Z en $𝐐(\sqrt{d})$. En atres paraules, és l'anell de sancers ${𝒪}_{𝐐(\sqrt{d})}$ de $𝐐(\sqrt{d})$ i per lo tant un domini de Dedekind.

Discriminante

El discriminante d'un cos quadràtic Q(√d) és d si d és congruent en 1 mòdul 4, i 4d d'una atra manera. Per eixemple, quan d és −1 sent K és un cos dels aixina cridats racionals gaussianos, el discriminante és −4. La raó d'estos està relacionada en la teoria general d'número algebraico. l'anell de sancers de K s'estén per 1 i la raïl quadrada de d únicament en el segon cas, i en el primer cas hi ha sancers tals que es troben en la mitat dels 'punts de ret' (per eixemple, quan d = −3, eixos són els sancers de Eiseinstein, donats per la raïl cúbica complexa de l'unitat).

El conjunt de discriminantes de cossos quadràtics és exactament el conjunt de discriminantes fonamentals.

Factorización de cosins en ideals

Qualsevol número primo p donat es convertix en un ideal pO_K en l'anell de sancers O_K d'un cos quadràtic K. D'acort en la teoria general de descomposició d'ideals cosins en extensions de Galois, est pot ser

p és inerte

(p) és un ideal primer

L'anell cocient és el cos finito en p² elements: O_K/pO_K = F_p²

p es descompon

(p) és un producte de dos ideals cosins distints de O_K.

L'anell cocient és el producte O_K/pO_K = F_p &claves; F_p.

p es ramifica

(p) és el quadrat d'un ideal primer de O_K.

L'anell cocient conté elements distints de zero nilpotents.

El tercer cas succeïx si i només si p dividix el discriminante D. El primer i segon cas ocorren quan el símbol de Kronecker (D/p) és igual a −1 and +1, respectivament. Per eixemple, si p és un número primo que no dividix a D, llavors p es descompon si i només si D és congruent en un quadrat mòdul p. Els dos primers casos són en un cert sentit equivalents a la possibilitat de que ocórrega com a p seguix a través dels cosins, vore teorema de densitat de Chebotarev.

La llei de reciprocitat quadràtica implica que el comportament de descomposició d'un primer p en un cos quadràtic depén únicament de p mòdul D, a on D és el discriminante del cos.

Subcuerpos quadràtics de cossos ciclotòmics

El subcuerpo quadràtic d'un cos ciclotòmic primer

Un eixemple clàssic de construcció d'un cos quadràtic és prendre l'únic cos quadràtic dins del cos ciclotòmic generat per la p-ésima raïl primitiva de l'unitat, en p un número primo > 2. L'unicitat és una conseqüència de la teoria de Galois, existint un subgrup únic d'índex 2 en el grup de Galois sobre Q. Com s'explica en periodo gaussiano, el discriminante del cos quadràtic és p per a p = 4n + 1 i −p per a p = 4n + 3. Açò també es pot predir suficientment ben usant la teoria de ramificació. En efecte, p és l'únic cosí que ramifica en el cos ciclotòmic, aixina que p és l'únic primer que pot ser dividit pel discriminante del cos quadràtic. Açò descarta els 'atres' discriminantes −4p i 4p en els seus casos respectius.

Atres cossos ciclotòmics

Si es prenen atres cossos ciclotòmics, s'obtenen grups de Galois en 2-torsió extra, contenint aixina a lo manco tres cossos quadràtics. En general, un cos quadràtic del discriminante de cos D es pot obtindre com un subcuerpo d'un cos ciclotòmic de D-ésimas raïls de l'unitat. Açò expressa el fet de que el conductor d'un cos quadràtic és el valor absolut del seu discriminante.

Vore també

• Problema del número de classes
• Teorema de Stark–Heegner
• Número de Heegner
• Irracional quadràtic
• Sancer quadràtic

Bibliografia

• Duncan Buell (1989). Binary quadratic forms: classical theory and modern computations, Springer-Verlag. ISBN 0-387-97037-1. Chapter 6.
• Pierre Samuel (1972). Algebraic number theory, Hermann/Kershaw.
• I.N. Stewart (1979). Algebraic number theory, Chapman and Hall. ISBN 0-412-13840-9. Chapter 3.1.