Número de Heegner

En teoria de números, un número de Heegner (com ho criden Conway i Guy) és un sancer positiu sense quadrats $d$ tal que el cos quadràtic imaginari $\mathbb{Q}[\sqrt{-d}]$ té número de classe $1$. De manera equivalent, la seua anelle de sancers posseïx una factorización única.

La determinació de tals números és un cas especial del problema del número de classe, en varis resultats sorprenents en la teoria de números.

D'acort en el teorema de (Baker-)Stark-Heegner, hi ha exactament nou números de Heegner:

$1,2,3,7,11,19,43,67,163$ . Plantilla:OEIS

Gauss conjeturó este resultat i Kurt Heegner ho va demostrar en alguns defectes menors en 1952. Alan Baker i Harold Stark varen provar independentment el resultat en 1966, i Stark va indicar ademés que el defecte en la prova de Heegner era menor.

El polinomi de generació principal de Euler

El polinomi de generació principal de Euler

$n^2-n+41,$

que dona primers (distints) per a n = 1, ..., 40, està relacionat en el número 163 de Heegner   =   4 · 41 - 1)

La fòrmula de Euler, en $n$ prenent els valors entre 1, ... 40 és equivalent a

$n^2+n+41,$

en $n$ prenent els valors 0, ... 39. Rabinowitz va demostrar que

$n^2+n+p$

dona cosins per a $n=0,\dots ,p-2$ si i solament si el seu discriminante $1-4p$ és el negatiu d'un número de Heegner.

(Tinga's en conte que si $p-1$ produïx $p^2$, llavors $p-2$ és un màxim). 1, 2 i 3 no tenen la forma requerida, per lo que els números de Heegner que funcionen són $7,11,19,43,67,163$, produint funcions generadores principals de la forma de Euler per a $2,3,5,11,17,41$; estos últims números varen ser denominats números afortunats de Euler pel matemàtic F. Li Lionnais.

Casi sancers i la constant de Ramanujan

La constant de Ramanujan és el número transcendental $e^{\pi \sqrt{163}}$, que és un casi sancer, ya que està molt prop d'un sancer:

$e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.99999999999925\dots$ $\approx 640320^3+744.$

Este número va ser descobert en 1859 pel matemàtic Charles Hermite. En un artícul de 1975 d'April Fool en la revista Scientific American, l'columnista de la secció "Jocs matemàtics" Martin Gardner va fer la falsa afirmació de que el número era en realitat un número entero, i que el geni matemàtic indi Srinivasa Ramanujanho havia predit, i d'ahí el seu nom.

Esta coincidència s'explica per la multiplicació complexa i l'expansió q del j-invariante.

Detall

Breument, $j((1+\sqrt{-d})/2)$ és un sancer quan d és un número de Heegner, i $e^{\pi \sqrt{d}}\approx -j((1+\sqrt{-d})/2)+744$ a través de la q- expansió.

Si $\tau$ és un irracional quadràtic, llavors el j- invariante és un sancer algebraic de grau $|\text{Cl}(𝐐(\tau ))|$, el número de classe de $𝐐(\tau )$ i el polinomi mínim (sancer mónico) que ho satisfà es diu 'polinomi de classe de Hilbert'. Aixina, si l'extensió quadràtica imaginària $𝐐(\tau )$ té la classe número 1 (llavors d és un número de Heegner), el j- invariante és un número entero.

l'expansió q de j, en la seua expansió de la série de Fourier escrita com una série de Laurent en térmens de $q=\exp (2\pi i\tau )$, comença com:

$j(\tau )=\frac{1}{q}+744+196884q+\cdots .$

Els coeficients $c_n$ creixen asintóticamente com $\ln (c_n)\sim 4\pi \sqrt{n}+O(\ln (n))$, i els coeficients d'orde més baix creixen més llentament que $200000^n$. Llavors, per a $q\ll 1/200000$, j està molt ben aproximat per les seues dos primers térmens. Ajustant $\tau =(1+\sqrt{-163})/2$ s'obté $q=-\exp (-\pi \sqrt{163})$ o equivalentement, $\frac{1}{q}=-\exp (\pi \sqrt{163})$ . Ara $j((1+\sqrt{-163})/2)=(-640320{)}^3$, i llavors

$(-640320{)}^3=-e^{\pi \sqrt{163}}+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right).$

O,

$e^{\pi \sqrt{163}}=640320^3+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right)$

a on el terme llineal de l'error és

$-196884/e^{\pi \sqrt{163}}\approx -196884/(640320^3+744)\approx -0.00000000000075$

explicant per qué $e^{\pi \sqrt{163}}$ està tan aproximadament propenc a ser un número entero.