Fòrmula de Euler

Fòrmula de Euler

La fòrmula de Euler o relació de Euler, atribuïda a Leonhard Euler, establix la teorema, en el que la relació fonamental entre les funcions trigonométricas i la funció exponencial complexa. La fòrmula de Euler establix que per a qualsevol número real x:

$e^{ix}=\cos x+i\mathrm{sen}x$

$e^{-ix}=\cos x-i\mathrm{sen}x$

per a tot número real x, que representa un àngul en el pla complex. Ací, i és la base del logaritmo natural, i és la unitat imaginària, $\mathrm{sen}x$ i $\cos x$ són les funciones trigonométricas sen i coseno.

Esta funció exponencial complexa es denota a voltes cis x ("coseno més i seno"). La fòrmula seguix sent vàlida si x és un número complejo, per lo que alguns autors es referixen a la versió complexa més general com a fòrmula de Euler.

La fòrmula de Euler és omnipresent en matemàtiques, física, química i ingenieria. El físic Richard Feynman va cridar a l'equació "la nostra joya" i "la fòrmula més notable de les matemàtiques".

Quan x = π, la fòrmula de Euler pot reescriure's com i^iπ + 1 = 0 o i^iπ = -1, lo que es coneix com identitat de Euler.

Història

Roger Cotes va descobrir en 1714 la relació entre les funcions trigonométricas i el logaritmo,

$ix=\ln (\cos x+i\mathrm{sen}x)$

i va ser publicada en la seua obra pòstuma Harmonia mensurarum (1722), 20 anys ans que ho fera Leonhard Euler. Euler va desenrollar la fòrmula utilisant la funció exponencial en lloc del logaritmo i ho va comunicar en una carta enviada a Christian Goldbach en 1741, sent publicada i popularisada en la seua obra Introductio in analysin infinitorum en 1748. És interessant notar que cap dels descobridors va vore l'interpretació geomètrica senyalada anteriorment: la visió dels número complejo com a punts en el pla va sorgir en 1787 per part del matemàtic Caspar Wessel en el seu únic informe per a la Real Acadèmia Danesa.

Un sigle més tarde B. Peirce va concloure la deducció de la fòrmula davant dels seus alumnes, dient: "Cavallers, en seguritat esta fòrmula és certa , encara que els semble paradòxica..."

Johann Bernoulli havia descobert que

$$\frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{1-ix}+\frac{1}{1+ix}).$$

I lloc que

$$\int \frac{dx}{1+ax}=\frac{1}{a}\ln (1+ax)+C,$$

l'equació anterior nos diu alguna cosa sobre els logaritmos complexos en relacionar els logaritmos naturals en els número imaginario (complexos). No obstant, Bernoulli no va evaluar l'integral.

La correspondència de Bernoulli en Euler (que també coneixia l'equació anterior) mostra que Bernoulli no entenia completament els logaritmos complexos. Euler també va sugerir que els logaritmos complexos poden tindre infinits valors.

La visió dels número complejo com a punts en el pla complex va ser descrita uns 50 anys més vesprada per Caspar Wessel.

Potència complexa d'i

Se sol expressar com:

$e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\mathrm{sen}y)$

sent $z$ la variable complexa definida per $z=x+iy$

Demostració

Note's que esta no és una demostració basada en les propietats dels número complejo i de la funció exponencial, sino que és necessària la definició de l'exponencial complexa com l'equivalent a la série de Taylor sobre els número real per a paràmetros complexos.

La fòrmula pot interpretar-se geomètricament com una circumferència de radi i^x en el pla complex, dibuixada per la funció i^iy en variar $x$ sobre els número real. Aixina, $y$ és el àngul d'una recta que conecta l'orige del pla i un punt sobre la circumferència unitat, en l'eix positiu real, medit en sentit contrari a les agulles del rellonge i en radianes. La fòrmula solament és vàlida si també el sen i el coseno tenen els seus arguments en radianes.

Demostració usant les Séries de Taylor

Sabent que:

$\begin{array}{cccccccc}{i}^0& =1,& i^1& =i,& i^2& =-1& i^3& =-i,\\ i^4& =1,& i^5& =i,& i^6& =-1,& i^7& =-i,\\ \end{array}$

i aixina successivament. Ademés d'açò, les funcions i^x, cos(x) i sen(x) (assumint que x siga un número real) poden ser expressades utilisant els seus series de Taylor al voltant de zero.

$\begin{array}{cc}{e}^x& =\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots \\ \cos x& =\frac{x^0}{0!}-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots \\ \sin x& =\frac{x^1}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots \end{array}$

Una atra definició que se li pot donar a $e^x$ basant-se en les series de Taylor és la següent:

$e^x=\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}\right)$

també vàlit para:

$\cos x=\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k}}{(2k)!}\right)$

$\sin x=\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)$

Definim cada una d'estes funcions per les séries anteriors, remplazando x per i·z, a on z és una variable real i i l'unitat imaginària. Açò és possible perque el ràdio de convergència és infinit en cada série. Llavors trobem que:

$\begin{array}{cc}{e}^{iz}& =\frac{(iz{)}^0}{0!}+\frac{(iz{)}^1}{1!}+\frac{(iz{)}^2}{2!}+\frac{(iz{)}^3}{3!}+\frac{(iz{)}^4}{4!}+\frac{(iz{)}^5}{5!}+\frac{(iz{)}^6}{6!}+\frac{(iz{)}^7}{7!}+\frac{(iz{)}^8}{8!}+\cdots \\ & =\frac{z^0}{0!}+i\frac{z^1}{1!}-\frac{z^2}{2!}-i\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+i\frac{z^5}{5!}-\frac{z^6}{6!}-i\frac{z^7}{7!}+\frac{z^8}{8!}+\cdots \\ & =(\frac{z^0}{0!}-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\frac{z^8}{8!}-\cdots )+i(\frac{z^1}{1!}-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots )\\ & =\cos (z)+i\sin (z)\end{array}$

El reordenamiento és possible degut a que cada série és absolutament convergent. Remplazando z = x com un número real resulta en l'identitat original tal com la va descobrir Euler.

Usant coordenades polars

Una atra demostració es basa en el fet de que tots els número complejo poden expressar-se en coordenades polars. Per lo tant, per a alguns r i θ depenen de x, $$e^{ix}=r(\cos \theta +i\sin \theta ).$$

No s'estan fent suposicions sobre r i θ; es determinaran en el curs de la demostració. De qualsevol de les definicions de la funció exponencial es pot demostrar que la derivada de i^ix és ie^ix. Per lo tant, diferenciant abdós costats s'obté

$$i{e}^{ix}=(\cos \theta +i\sin \theta )\frac{dr}{dx}+r(-\sin \theta +i\cos \theta )\frac{d\theta }{dx}.$$

Substituint r(cos θ + i sen θ) per i^ix i igualant les parts real i imaginària en esta fòrmula dona Plantilla:Sfrac = 0 i Plantilla:Sfrac = 1. Per lo tant, r és una constant, i θ és x + C per a alguna constant C. Els valors inicials r(0) = 1 i θ(0) = 0 provenen de i⁰ⁱ = 1, donant r = 1 i θ = x. Açò demostra la fòrmula

$$e^{ix}=1(\cos x+i\sin x)=\cos x+i\sin x.$$

Rellevància matemàtica

La fòrmula proporciona una potent conexió entre el anàlisis matemàtic i la trigonometria. S'utilisa per a representar els número complejo en coordenades polars i permet definir el logaritmo per a números negatius i número complejo.

Logaritmo d'un número negatiu

En este cas, la fòrmula de Euler és evaluada en $x=\pi$ , obtenint la identitat de Euler:

$e^{\mathrm{i}\pi }=\cos \pi +\mathrm{i}\mathrm{sen}\pi =-1$

$e^{\mathrm{i}\pi }=-1$

Després, en aplicar el logaritmo natural s'obté:

$\mathrm{i}\pi =\ln (-1)$.

Logaritmo d'un número negatiu qualsevol

Com a extensió de l'equació anterior, el logaritmo de qualsevol número negatiu es definix com:

$\ln (-a)=\ln (a)+\ln (-1)=\ln (a)+\mathrm{i}\pi$. A on $a>0$.

Ademés pot definir-se el logaritmo d'un número negatiu en qualsevol base, a partir del logaritmo natural i la fòrmula de canvi de base.

Integració i derivació

Una propietat important de la fòrmula de Euler és que és l'única funció matemàtica que permaneix en la mateixa forma (llevat per l'unitat imaginària) en les operacions d'integració i derivació del càlcul integral, lo que permet que s'utilise per a convertir equacions diferencials en equacions en forma algebraica, simplificant enormement eixes operacions.

De les regles de la exponenciación

$e^{a+b}=e^a\cdot e^b$

i

$(e^a{)}^b=e^{a\cdot b}$

(vàlides per a tot parell d'número complejo $a$ i $b$), es poden derivar vàries identitats trigonométricas, aixina com la fòrmula de De Moivre.

Funcions trigonométricas

La fòrmula de Euler també permet interpretar les funciones sen i coseno com a meres variacions de la funció exponencial:

$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

$\mathrm{sen}x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

A partir d'estes igualtats, és possible definir les funcions trigonométricas per als número complejo d'esta manera:

$\mathrm{sen}z=\frac{e^{zi}-e^{-zi}}{2i}$

$\cos z=\frac{e^{zi}+e^{-zi}}{2}$

$\tan z=\frac{e^{zi}-e^{-zi}}{e^{zi}+e^{-zi}}\cdot \frac{1}{i}$

sent $z\in ℂ$, és dir, que pertany al conjunt d'número complejo. Estes funcions trigonométricas complixen les lleis dels seus similars aplicades als número real. Siguen els número complejo $z$ i $w$, és dir $z\wedge w\in ℂ$, llavors són vàlides les següents igualtats:

${\cos }^{2}z+{\mathrm{sen}}^{2}z=1$

$\cos (-z)=\cos (z)$

$\mathrm{sen}(-z)=-\mathrm{sen}(z)$

$\mathrm{sen}(z+w)=\mathrm{sen}(z)\cos (w)+\mathrm{sen}(w)\cos (z)$

$\cos (z+w)=\cos (z)\cos (w)-\mathrm{sen}(w)\mathrm{sen}(z)$

Equacions diferencials

En les equacions diferencials, l'expressió $e^{ix}$ és utilisada a sovint per a simplificar derivades, inclús si la resposta final és una funció real en la que apareguen sens o cosenos. La identitat de Euler és una conseqüència immediata de la fòrmula de Euler.

Anàlisis de senyals

Les senyals que varien periòdicament solen descriure's com una combinació de funcions sen i coseno, com ocorre en el anàlisis de Fourier, i estes són expressades més convenientment com la part real d'una funció exponencial en exponent imaginari, utilisant la fòrmula de Euler.

Aplicacions

Fòrmula de Euler i^iφ = cos φ + i sense φ ilustrada en el pla complex

.

Interpretació de la fòrmula

Esta fòrmula pot interpretar-se com que la funció i^iφ és un número complejo unitari, és dir, traça el círcul unitari en el pla complex a mida que φ recorre els número real. Ací φ és el àngul que forma una recta que unix l'orige en un punt del círcul unitari en el eix real positiu, medit en sentit contrari a les agulles del rellonge i en radianes.

La demostració original es basa en les expansions en série de Taylor de la funció exponencial i^z (a on z és un número complejo) i de sense x i cos x per a número real x (vejau més alvance). De fet, la mateixa demostració mostra que la fòrmula de Euler és inclús vàlida per a tots els números complexos x.

Un punt en el pla complex pot representar-se per un número complejo escrit en coordenades cartesianas. La fòrmula de Euler proporciona un mig de conversió entre coordenades cartesianas i coordenades polars. La forma polar simplifica les matemàtiques quan s'utilisa en la multiplicació o potències d'número complejo. Qualsevol número complejo z = x + iy}, i el seu conjugat complex, Plantilla:Overline = x - iy}, pot escriure's com $$\begin{array}{cc}z& =x+iy=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )=r{e}^{i\phi },\\ \overline{z}& =x-iy=|z|(\cos \phi -i\sin \phi )=r{e}^{-i\phi },\end{array}$$ a on

• x = Re z és la part real,
• i = Im z és la part imaginària,
• r = z = Plantilla:Sqrt és la magnitut de z
• φ = arg z = nuguen2(i, x).

φ és el argument de z, és dir, l'àngul entre l'eix x i el vector z medit en sentit antihorario en radianess, que està definit llevat para 2π}. Molts texts escriuen φ = tan^-1 Plantilla:Sfrac en lloc de φ = nuguen2(i, x), pero la primera equació necessita un ajust quan x ≤ 0. Açò es deu a que para qualsevol x i i reals, no sent abdós zero, els ànguls dels vectores (x, i) i (-x, -i) diferixen en π radianes, pero tenen l'idèntic valor de tan φ = Plantilla:Sfrac.

Vore també

• Número complejo
• Pla complex
• Anàlisis de Fourier
• Pi

Enllaços externs

• Plantilla:Springer
• Euler Formula en MathWorld.