Identitat de Euler

Archiu:VignetteEulerIdentity.svg

Identitat de Euler

Archiu:ExpIPi.gif

Funció exponencial i^z pot definir-se com el llímit d'una seqüència (1 + z/N)^N, en N tendint a infinit, i aixina i ^iπ és el llímit de (1 + iπ/N)^N. Cada fotograma d'esta animació mostra números (1 + iπ/N)^k', a on k va de 0 a N i N pren varis valors creixents d'1 a 100.

En matemàtiques, la identitat de Euler és l'igualtat:

$e^{i\pi }+1=0$

a on:

$e$ és el número de Euler, la base dels logaritmos naturals

$i$ és la unitat imaginària, que per definició satisfà $i^2=-1$

$\pi$ és el número pi, és la relació constant entre la llongitut d'una circumferència i la seua diàmetro en geometria euclidiana.

$1$ és el número u, el element neutre de la multiplicació, i la divisió.

$0$ és el número zero, l'element neutre entre la suma i la resta.

Esta identitat és considerada una bellea matemàtica per vincular distintes àrees d'eixa ciència formal que semblen distintes i sense relació alguna a simple vista.

Bellea matemàtica

L'identitat de Euler se cita a sovint com a eixemple de bellea matemàtica profunda. Tres de les operacions aritmèticas bàsiques ocorren exactament una volta cada una: suma, multiplicació i exponenciación. L'identitat també relaciona cinc constants matemàtiques fonamentals:

• El número 0, l'identitat aditiva.
• El número 1, l'identitat multiplicativa.
• El [[Número π|número Plantilla:Mvar]] (Plantilla:Mvar = 3,1415...), la constant del círcul fonamental.
• El [[i (constant matemàtica)|número Plantilla:Math]] (Plantilla:Math = 2,718...), també conegut com a número de Euler, que apareix àmpliament en anàlisis matemàtic.
• El [[unitat imaginària|número Plantilla:Math]], l'unitat imaginària dels número complejo.

Ademés, l'equació es dona en forma d'una expressió posada igual a zero, la qual cosa és una pràctica comuna en vàries àrees de les matemàtiques.

El professor de matemàtiques Keith Devlin de la Universitat de Stanford ha dit: "Com un sonet de Shakespeare que capta l'essència mateixa de l'amor, o una pintura que posa de manifest la bellea de la forma humana que és molt més que la pell, l'equació de Euler aplega fins a lo més profunt de l'existència". I Paul Nahin, professor emèrit de la Universitat d'New Hampshire, que ha escrit un llibre dedicat a la fòrmula de Euler i les seues aplicacions en el anàlisis de Fourier, descriu l'identitat de Euler com "d'una bellea exquisita".

L'escritora de matemàtiques Constance Reid ha opinat que l'identitat de Euler és "la fòrmula més famosa de totes les matemàtiques". I Benjamin Peirce, un filòsof, matemàtic i professor de la Universitat d'Harvard nortamericana de el XIX, despuix de demostrar l'identitat de Euler durant una conferència, va afirmar que l'identitat "és absolutament paradòxica; no podem entendre-la, i no sabem lo que significa, pero l'hem demostrat, i per lo tant sabem que deu ser la veritat".

Una enquesta entre els llectors realisada per The Mathematical Intelligencer en 1990 va nomenar l'identitat de Euler com el teorema més bell de les matemàtiques. En una atra enquesta entre els llectors realisada per Physics World en 2004, l'identitat de Euler va empatar en les equacions de Maxwell (del electromagnetisme) com la "major equació de l'història".

S'han publicat a lo manco tres llibres de matemàtica popular sobre l'identitat de Euler:

• La Fabulosa Fòrmula del Dr. Euler: Cures Many Mathematical Ills, de Paul Nahin (2011).
• Una equació de lo més elegant: La fòrmula de Euler i la bellea de les matemàtiques, de David Stipp (2017).
• L'equació pionera de Euler: La teorema més bella de les matemàtiques, de Robin Wilson (2018).

Explicació

L'identitat es deduïx a partir d'un cas especial de la Fòrmula de Euler, la qual especifica que

$e^{ix}=\cos x+i\mathrm{sen}x$

per a qualsevol número real x, en els arguments de les funcions trigonométricas sen i cos expressats en radianes. En particular si

$x=\pi$

llavors

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\mathrm{sen}\pi$

i ya que

$\cos \pi =-1$

i que

$\mathrm{sen}\pi =0$

se seguix que

$e^{i\pi }=-1$

La qual cosa implica l'identitat

$e^{i\pi }+1=0$

Per a una forma alternativa de notar que l'identitat de Euler és tant verdadera com a profunda, supongam que:

$x=i\pi ,$

en el desenroll polinòmic d'i a la potencia x:

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\mathrm{...},$

per a obtindre:

$e^{i\pi }=1+i\pi +\frac{(i\pi {)}^2}{2!}+\frac{(i\pi {)}^3}{3!}+\frac{(i\pi {)}^4}{4!}+\mathrm{...},$

simplificant (usant $i^2=-1$):

$e^{i\pi }=1+i\pi -\frac{{\pi }^2}{2!}-\frac{i{\pi }^3}{3!}+\frac{{\pi }^4}{4!}+\mathrm{...},$

En separar el segon membre de l'equació en subseries real i imaginàries:

$i(\pi -\frac{{\pi }^3}{3!}+\frac{{\pi }^5}{5!}-\frac{{\pi }^7}{7!}+\mathrm{...})=0;(1-\frac{{\pi }^2}{2!}+\frac{{\pi }^4}{4!}-\frac{{\pi }^6}{6!}+\mathrm{...})=-1$

Es pot comprovar la convergència d'estes dos subseries infinites, la qual cosa implica

$e^{i\pi }=-1$

Logaritmos de números negatius

El logaritmo natural d'un número complejo $z=a+bi$, a on $a,b\in ℝ$, es definix com:

$\ln (z)=\ln |z|+i\arg (z)$

A on $\arg (z)=\arg (a+bi)$ és:

$\arg (a+bi)=\{\begin{array}{cc}\arctan \left(\frac{b}{a}\right)& a>0\\ \arctan \left(\frac{b}{a}\right)+\pi & a<0,b\ge 0\\ \arctan \left(\frac{b}{a}\right)-\pi & a<0,b<0\\ +\frac{\pi }{2}& a=0,b>0\\ -\frac{\pi }{2}& a=0,b<0\\ \text{indeterminado}& a=0,b=0\end{array}$

Notar que en esta definició, arg(z) està en l'interval $(-\pi ,\pi ]$ (l'argument en este interval és conegut com el "valor principal de l'argument" o simplement "argument principal"). Esta definició no és l'única possible, ya que es va poder haver definit en [0, 2π), etc.

Per a logaritmos d'atres bases, es té la següent relació per mig de "canvi de base" :

${\log }_b(z)=\frac{\ln (z)}{\ln (b)}$

Per eixemple :

$\ln (-1)=\ln |-1|+i\arg (-1)=\ln (1)+i\pi =i\pi$

I també es complix:

$\ln (-x)=\ln (x)+\ln (-1)=\ln (x)+i\pi ,x>0$.

Lo anterior es pot deduir de la definició. També es pot obtindre $i\pi =\ln (-1)$ a partir de l'identitat de Euler, pero no és la raó de la deducció de ln(-1). Este detall s'explicarà a continuació. Se sap que $e^{i\pi }=-1$, pero també és cert que $e^{-i\pi }=-1$ i $e^{3i\pi }=-1$. De fet en general:

$e^{i\pi (2k+1)}=-1,k\in \mathbb{Z}$

L'error que es pot cometre ací, és que si $e^a=e^b$, llavors a = b. Lo anterior és vàlit si a i b són número real, pero en complexos açò no se sempre es complix. Per això si ben $e^{i\pi }=e^{-i\pi }=-1$, no és cert que $i\pi =-i\pi$. D'esta forma, es pot vore que:

$\ln (-1)=i\pi \ne -i\pi =-\ln (-1)$.

Abans es va mencionar que si es pot obtindre $i\pi =\ln (-1)$ en l'identitat de Euler, pero no és recomanable fer-ho, perque es pot cometre errors com lo descrit més dalt, ya que no sempre es complix el fet de que si $e^a=b$ llavors a = ln(b). Un atre error és lo següent:

$\ln (-1)=\ln (-1/1)=\ln (1/-1)=\ln (1)-\ln (-1)=-i\pi$.

L'error ací ocorre en $\ln (1/-1)=\ln (1)-\ln (-1)$. Açò últim no és correcte i el motiu és que

$\ln (1/-1)=\ln (1*(-1{)}^{-1})=\ln (1)+\ln ((-1{)}^{-1})\ne \ln (1)+(-1)\ln (-1)=-i\pi$.

Perque $\ln (a^b)=b\ln (a)$ solament es complix de manera general si a és positiu. Per un costat $\ln ((-e{)}^2)=\ln ((e{)}^2)=2$, pero $2\ln (-e)$ no és real, ya que ln(-i) no és un número real.

Identitat aumentada

El número áureo (també cridat número) és un número irracional, representat per la lletra grega φ (phi) o Φ (Phi) = 1,61803398874988....

Una de les seues propietats és:

$\phi -1=1/\phi$

Per tant: $\phi -1/\phi =1$

Reemplaçant '1' en l'identitat de Euler, $e^{i\pi }+1=0$, es té:

$e^{i\pi }+(\phi -1/\phi )=0$

Per tant:

$e^{i\pi }+\phi -1/\phi =0$

$\frac{\phi \cdot e^{i\pi }+{\phi }^2-1}{\phi }=0$

$\phi \cdot e^{i\pi }+{\phi }^2-1=0$

Ordenant els térmens de l'equació queda:

${\phi }^2+\phi \cdot e^{i\pi }-1=0$

D'esta manera es relacionen sis números molt utilisats, cinc operacions de les matemàtiques i l'equació quadràtica.

Interpretació geomètrica

Qualsevol número complejo $z=x+iy$ pot ser representat pel punt $(x,y)$ en el pla complex. Este punt també pot representar-se en Coordenades polars com $(r,\theta )$, a on r és el valor absolut de z (distància des de l'orige), i $\theta$ és l'argument de z (àngul en sentit antihorario des de l'eix x positiu). Per les definicions de sen i coseno, este punt té coordenades cartesianas de $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$, #lo que implica que $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$. Segons la fòrmula de Euler, açò equival a dir $z=r{e}^{i\theta }$.

L'identitat de Euler diu que $-1=e^{i\pi }$. ya que $e^{i\pi }$ és $r{e}^{i\theta }$ per a r = 1 i $\theta =\pi$, açò pot interpretar-se com un fet sobre el número -1 en el pla complex: la seua distància a l'orige és 1, i el seu àngul des de l'eix positiu x és $\pi$ radianes.

Ademés, quan qualsevol número complejo z és multiplicat per $e^{i\theta }$, té l'efecte de girar z en sentit antihorario un àngul de $\theta$ en el pla complex. ya que la multiplicació per -1 reflectix un punt a través de l'orige, l'identitat de Euler pot interpretar-se com que girar qualsevol punt $\pi$ radianes al voltant de l'orige té el mateix efecte que reflectir el punt a través de l'orige. De la mateixa manera, si $\theta$ és igual a $2\pi$ s'obté l'equació $e^{2\pi i}=1,$ que pot interpretar-se com que girar qualsevol punt un [[àngul]|gir]] al voltant de l'orige ho torna a la seua posició original.

Generalisacions

L'identitat de Euler és també un cas especial d'una identitat més general: la suma de raïls de l'unitat de grau n, si n > 1 és igual a 0

$\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{2\pi i\frac{k}{n}}=0.$

L'identitat de Euler és el cas quan n=2

En una atra àrea de les matemàtiques, utilisant la exponenciación de cuaterniones , es pot demostrar que una identitat similar també s'aplica als cuaterniones. Siguen Plantilla:Math} elements bàsics. Llavors

$e^{\frac{1}{\sqrt{3}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.$

En general, si es donen Plantilla:Math, Plantilla:Math, Plantilla:Math reals tals que a Plantilla:Math , llavors

$e^{(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k)\pi }+1=0.$

Per a octonions , en a_n real tal que Plantilla:Math , i en Plantilla:Math

$e^{(a_1{i}_1+a_2{i}_2+\dots +a_7{i}_7)\pi }+1=0.$

Història

Si be l'identitat de Euler és un resultat directe de la fòrmula de Euler, publicada en la seua obra monumental d'anàlisis matemàtic en 1748, Introductio in analysin infinitorum, és qüestionable si el concepte particular de vincular cinc constants fonamentals en una forma compacta es pot atribuir al propi Euler, ya que és possible que mai ho haja expressat.

Robin Wilson afirma lo següent.

Vore també

• Leonhard Euler
• Fòrmula de Euler
• Fòrmula de De Moivre
• Número áureo

Referències

Fonts

• Conway, John H., i Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer ISBN 978-0-387-97993-9
• Creara, Robert P. (10 May 2004), "The greatest equations ever", Physics World [registration required]
• Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America ISBN 978-0-88385-328-3
• Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volum VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Leipzig: B. G. Teubneri

• Kasner, I., and Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster
• Maor, Eli (1998), Plantilla:Mvar: The Story of a number, Princeton University Press ISBN 0-691-05854-7
• Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2
• Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics, Penguin Books ISBN 0-14-014574-5
• Reid, Constance (various editions), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
• Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits, Mathematical Association of America ISBN 978-0-88385-563-8
• (2017).«A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics».Basic Books.
• “Llaure these the most beautiful?” (1990). The Mathematical Intelligencer 12 (3): 37–41. doi:10.1007/BF03024015.
• (2018).«Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics».Oxford University Press.
• (2014).«The experience of mathematical beauty and its neural correlates».Frontiers in Human Neuroscience.8

68.doi:10.3389/fnhum.2014.00068.

• Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (New York: Penguin, 2004).
• Reid, Constance, From Zero to Infinity (Mathematical Association of America, various editions).
• Sandifer, Ed, "

Enllaços externs

• Demostració completa de l'identitat de Euler
• Euler's Greatest Hits", MAA Online, February 2007.