Número i

En matemàtiques, la constant $\text{e}$ és un dels número irracional i els número trascendente més importants.

És aproximadament 2,71828 i apareix en diverses branques de les matemàtiques, en ser la base dels logaritmes naturals i formar part de les equacions del interés compost i molts atres problemes.

El número $\text{e}$, conegut en ocasions com a número de Euler o constant de Napier, va ser reconegut i utilisat per primera volta pel matemàtic escocés John Napier, qui va introduir el concepte de logaritme en el càlcul matemàtic.

Juga un paper important en el càlcul i en l'anàlisis matemàtic, en la definició de la funció més important de la matemàtica, la funció exponencial, aixina com $\pi$ lo és de la geometria i el número $i$ del anàlisis complex i de l'àlgebra.

El número $\text{e}$, de la mateixa manera que el número $\pi$ i el número àureu (φ), és un número irracional, no expressable per mig d'una raó de dos número entero; o be, no pot ser representat per un numeral decimal exacte o un decimal periòdic. Ademés, també com $\pi$, és un número trascendente, és dir, que no pot ser raïl d'equació algebraica alguna en coeficients racionals. El valor de $\text{e}$ truncat a les seues primeres sifres decimals és el següent:

$\text{e}=2,718281828459045235\mathrm{360...}$

Llista de números – Número irracional γ – ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – i – π – δ – τ
Binario	10.10110111111000010101…
Decimal	2.718281828459045235360…
Hexadecimal	2.B7I151628AED2A6B…
Fracció contínua	$1+\frac{2}{1+\frac{1}{6+\frac{1}{10+\frac{1}{14+\frac{1}{18+\ddots }}}}}$ Note's que la fracció contínua no és periòdica.

Història

A diferència de $\pi$, l'introducció del número $\text{e}$ en la matemàtica és relativament recent, lo que té sentit si es considera que este últim va tindre un orige analític i no geomètric, com el primer. En les paraules d'Eli Maor:

Les primeres referències a la constant varen ser publicades en 1618 en la taula en un apèndix d'un treball sobre logaritmes de John Napier.

No obstant, esta taula no contenia el valor de la constant, sino que era simplement una llista de logaritmes naturals calculats a partir d'esta. Es creu que la taula va ser escrita per William Oughtred. Uns anys més tart, en 1624, $\text{e}$ es veu novament involucrat en la lliteratura matemàtica, encara que no del tot. Eixe any, Briggs va donar una aproximació numèrica als logaritmes en base 10, pero no va mencionar al número $\text{e}$ explícitament en el seu treball.

La següent aparició de $\text{e}$ és alguna cosa dubtosa. En 1647, Saint-Vincent va calcular l'àrea baix l'hipérbola rectangular. Si va reconéixer la conexió en els logaritmes és una qüestió oberta a debat, i inclús si ho va fer, no va haver raó per a que tractara en $\text{e}$ explícitament. Qui sí va comprendre la relació entre l'hipérbola rectangular i el logaritme va ser Huygens allà per 1661, en estudiar el problema de l'àrea baix la curva $yx=1$. El número $\text{e}$ és aquell valor d'abscissa a prendre per a que l'àrea baix esta curva a partir d'1 siga igual a 1. Esta és la propietat que fa que $\text{e}$ siga la base dels logaritmes naturals, i si ben no era compresa del tot pels matemàtics d'aquell llavors, de poc anaven acostant-se a la seua comprensió.

No obstant, i tal volta inesperadament, no és a través dels logaritmes que $\text{e}$ és descobert, sino de l'estudi del interés compost, problema abordat per Jacob Bernoulli en 1683. Si s'invertix una Unitat Monetària (que abreviarem en lo sucesivo com a UM) en un interés del 100% anual i es paguen els interessos una volta a l'any, s'obtindran 2 UM. Si es paguen els interessos 2 voltes a l'any, dividint l'interés entre 2, la cantitat obtinguda és 1 UM multiplicat per 1,5 dos voltes, és dir 1 UM x 1,50² = 2,25 UM. Si dividim l'any en 4 periodos (trimestres), de la mateixa manera que la taxa d'interés, s'obtenen 1 UM x 1,25⁴ = 2,4414… En cas de pagaments mensuals el monte ascendix a 1 UM x $(1+\frac{1}{12}{)}^{12}$ = 2,61303…UM. Per tant, cada volta que s'aumenta la cantitat de periodos de pagament en un factor de n (que tendix a créixer sense llímit) i es reduïx la taxa d'interés en el periodo, en un factor de $\frac{1}{n}$, el total d'unitats monetàries obtingudes estarà donat per la següent expressió:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n.$

Bernoulli va utilisar el teorema del binomi per a mostrar que dit llímit es trobava entre 2 i 3. Es pot considerar que esta és la primera aproximació trobada per a $\text{e}$. Inclús si acceptem esta com una definició de $\text{e}$, seria la primera volta que un número es definix com un procés de llímit. En seguritat, Bernoulli no va reconéixer cap conexió entre el seu treball i els logaritmes. D'ací prové la definició que es dona de $\text{e}$ en finances, que expressa que este número és el llímit d'una inversió d'1 UM en una taxa d'interés al 100% anual compost en forma contínua. En forma més general, una inversió que s'inicia en un capital C i una taxa d'interés anual R, proporcionarà $C{e}^R$ UM en interés compost.

El primer us conegut de la constant, representat per la lletra b, va anar en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 i 1691. Leonhard Euler va començar a utilisar la lletra i per a identificar la constant en 1727, i el primer us de $\text{e}$ en una publicació va ser en Mechanica, de Euler, publicat en 1736. Mentres que en els anys subsegüents alguns investigadors varen usar la lletra c, $\text{e}$ va ser la més comuna, i finalment es va convertir en la terminologia usual. Euler va realisar varis aportes en relació en $\text{e}$ en els anys següents, pero no va ser fins a 1748 quan va publicar el seu Introductio in analysin infinitorum que va donar un tractament definitiu a les idees sobre $\text{e}$. Allí va mostrar que

$\text{e}=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\cdots$

i va donar una aproximació per a $\text{e}$ de 18 sifres decimals, sense mostrar cóm la va obtindre. També va donar la seua expressió com a fracció contínua reconeixent el patró que seguix dita expressió. Va ser esta caracterisació la que li va servir de base per a concloure que $\text{e}$ és un número irracional, i la major part de la comunitat accepta que Euler va ser el primer en provar esta propietat.

La passió que guio a molta gent a calcular més i més sifres decimals de $\pi$ mai va semblar replicar-se de la mateixa manera per a $\text{e}$. No obstant, alguns es varen embarcar en la tasca de calcular la seua expansió decimal i el primer en contribuir en açò va ser William Shanks en 1854. Val la pena destacar que Shanks va ser un entusiasta encara major del càlcul dels decimals de $\pi$. James Whitbread Lee Glaisher va mostrar que els primers 137 llocs de Shanks per al càlcul de $\text{e}$ eren correctes, pero va trobar un error que, despuix de ser corregit pel propi Shanks, va tirar sifres decimals d'i fins al lloc 205. De fet, es necessita al voltant de 120 térmens d'1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … per a obtindre 200 decimals.

Expansions decimals encara majors varen seguir en els treballs de Boorman en 1884, qui va calcular 346 llocs i va trobar que el seu còmput coincidia en el de Shanks fins al lloc 187, pero després divergien. En 1887 Adams va estimar el logaritme de $\text{e}$ en base 10 en 272 sifres exactes.

En 1873, Charles Hermite (1822−1905) va conseguir demostrar que $\text{e}$ és transcendent. A dit guany va aplegar usant un polinomi, conseguit en ajuda de fraccions contínues empleades, anteriorment, per Lambert. David Hilbert (també Karl Weierstrass i uns atres), va propondre posteriorment variants i modificacions de les primeres demostracions.

Definició

La definició més comuna de $e$ és com el valor llímit de la successió $(1+n^{-1}{)}^n$. En símbols,

$\text{e}:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+n^{-1})}^n$

A voltes es pren també com a punt de partida, resultat d'aplicar la teorema del binomi, la série següent:

$\text{e}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(n!{)}^{-1}$

que s'expandix com

$\text{e}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots$

Una atra definició habitual donada a través del càlcul integral és com a solució de l'equació

$\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{t}=1,$

és dir que es definix $\text{e}$ com el número per al que

$\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{dt}{t}=1.$

Propietats matemàtiques i aplicacions

Anàlisis matemàtic

Funció exponencial

Artícul principal → Funció exponencial.

Per a qualsevol $x\in ℝ$, la successió ${(1+\frac{x}{n})}^n$ convergix. Podem denotar dit llímit en ${\text{e}}^x$:

${\text{e}}^x:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{x}{n})}^n.$

Es diu funció exponencial a la funció real la variable independent de la qual recorre el conjunt $ℝ$ dels número real, i es definix com

$\begin{array}{cc}f:ℝ& \to {ℝ}^{\mathbb{+}}\\ x& \mapsto {\text{e}}^x\end{array}$

La traça més rellevant de la funció exponencial és que la seua funció derivada (que existix en tot punt) coincidix en la pròpia funció, és dir,

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x.$

Ademés, és l'única funció no idénticamente nula (a menys de multiplicació per constants) en esta propietat. Açò fa de l'exponencial la funció més important de l'anàlisis matemàtic, i en particular per a les equacions diferencials.

El desenroll en série de la funció $f(x)={\text{e}}^x$ es realisa per mig de la fòrmula de Maclaurin. ya que

$f(x)=f^{\text{'}}(x)=f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=\mathrm{...}=f^{n+1}(x)={\text{e}}^x,$

$f(0)=f^{\text{'}}(0)=f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)=\mathrm{...}=f^{n+1}(0)=1,$

la fòrmula de Maclaurin s'escriu de la següent manera:

${\text{e}}^x=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k+R_k(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\mathrm{...}+\frac{x^n}{n!}+O(x^{n+1})$

Suponent x=1, s'obté el valor aproximat del número

$\text{e}\approx 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\mathrm{...}+\frac{1}{n!}$

A on ≈ s'entén com un valor aproximat.

Problema de Steiner

Este problema planteja trobar el màxim absolut de la funció

$f(x)=x^{1/x}.$

Este màxim es dona precisament en $\text{e}$.

Aixina mateix, $1/\text{e}$ és el mínim absolut de la funció

$f(x)=x^x$

definida per a $x>0$. Més en general, la funció

$f(x)=x^{x^n}$

alcança el seu màxim global en $1/\text{e}$ per a $n<0$; i el mínim global es troba en ${\text{e}}^{-1/n}$ per a $n>0$.

La tetración infinita

$x^{x^{x^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}$ o ${}^{\mathrm{\infty }}x$

convergix si i solament si ${\text{e}}^{-\text{e}}\le x\le {\text{e}}^{1/\text{e}}$, per una teorema de Leonhard Euler.

Número complejo

El número $\text{e}$ presenta en la fòrmula de Euler un paper important relacionat en els número complex:

${\text{e}}^{ix}=\cos x+i\mathrm{sen}x,$

El cas especial en $x=\pi$ és conegut com identitat de Euler o fòrmula mística de Euler

${\text{e}}^{i\pi }+1=0.$

Esta fòrmula va aplegar com una revelació a Benjamin Peirce, professor d'Harvard, qui la va expondre davant els seus alumnes, i va manifestar el seu reconeiximent davant la maravellosa conexió dels cinc números més famosos de tota la matemàtica.

de la que es deduïx que:

${\log }_e(-1)=i\pi .$

Ademés, utilisant les lleis de la exponenciación, s'obté:

$(\cos x+i\mathrm{sen}x{)}^n={\left({\text{e}}^{ix}\right)}^n={\text{e}}^{inx}=\cos (nx)+i\mathrm{sen}(nx)$

que és la fòrmula de De Moivre.

Provabilitat i estadística

El número i també apareix en aplicacions a la teoria de provabilitats. Un eixemple és el problema dels desarreglos, descobert en part per Jacob Bernoulli junt en Pierre Raymond de Montmort, també conegut com el problema dels capells: els n invitats a una festa deixen a l'entrada els seus capells en el majordom, qui els coloca després en n compartiment, cada u en el nom d'un dels invitats. Pero el majordom no coneix l'identitat dels invitats, i llavors coloca els capells en els compartiment a l'encert. El problema de De Montmort és trobar la provabilitat de que cap dels capells siga colocat en el compartiment correcte. La resposta és:

$P(n)=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n}{n!}=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}.$

A mida que el número n d'invitats tendix a infinit, P(n) s'aproxima a 1/i. Més encara, el número de maneres en que es poden colocar els capells en els compartiment de manera que cap corresponga al seu amo és n!/i redonejat al sancer més propenc, per a cada positiu n. El resultat anterior pot reformular-se de la següent manera: siga $P(n)$ la provabilitat de que una funció aleatòria del conjunt 1, 2, ..., n en sí mateixa tinga a lo manco un punt fix. Llavors

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(n)=1-\frac{1}{e}=\mathrm{0.6321205588...}$

Una atra aparició de $\text{e}$ en la provabilitat és en el següent problema: es té una seqüència infinita de variables aleatòries X₁, X₂…, en distribució uniforme en [0,1]. Siga N el menor sancer n tal que la suma de les primeres n observacions és major que 1:

$N=\min \{n\mid X_1+X_2+\cdots +X_n>1\}.$

Després, $E(N)=\text{e}$. Este resultat permet estimar el valor de la constant per mig de simulacions aleatòries.

No obstant, el paper més rellevant que juga el número $\text{e}$ en esta branca de la matemàtica ve donat a través de la funció de densitat de provabilitat per a la distribució normal en mija μ i desviació estàndar σ, que depén de l'integral gaussiana:

$\varphi (x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\text{e}}^{-(x-\mu {)}^2/2{\sigma }^2}.$

El rol d'esta distribució és central en la teoria i la pràctica.

Teoria de números

Les següents dos relacions són corolaris directes del teorema dels número primo

$\text{e}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[p_n]{(p_n\mathrm{\#})}$

a on $p_n$ és n-esimo primer i $p_n\mathrm{\#}$ és el primorial del n-esimo primer.

$\text{e}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^{\pi (n)/n}$

a on $\pi (n)$ la funció contadora de cosins.

Geometria

De la mateixa manera que $\pi$, $\text{e}$ pot interpretar-se com un cocient entre cantitats lligades a certa curva del pla. Considerem una curva en la propietat de que qualsevol semirrecta que naix en l'orige talla a esta formant un àngul de $\pi /4$ radianes (existixen instruments que permeten traçar curves en esta característica). Si prenem dos punts qualssevol de la curva $P_1,P_2$ en una separació angular d'1 radián, i $r_i=\mathrm{dist}(P_i,O),r_1<r_2,$ llavors es té

$\frac{r_2}{r_1}=\text{e}.$

Esta construcció pot semblar forçada pel fet de requerir medir un radián, no obstant, açò pot conseguir-se molt fàcilment si permetem l'operació d'esgolar una circumferència sobre una recta (operació més que usual dins del conjunt de curves mecàniques). La curva en la propietat anteriorment senyalada és un cas especial d'espiral logarítmica o equiangular, i pot provar-se fàcilment que a partir de la seua condició de «equiangularidad», la seua equació en coordenades polars $(r,\theta )$ ve donada per

$r(\theta )=A{e}^{\theta },\theta \in ℝ,A>0.$

Més generalment, si la curva és tallada formant un àngul $0<\alpha \le \pi /2$, llavors la seua expressió en coordenades polars és

$r(\theta )=A{e}^{\cot (\alpha )\cdot \theta }.$

Una atra manifestació rellevant d'i en la geometria es dona en la catenària. La catenària és la curva la forma de la qual és adoptada per una corda de densitat uniforme subjecta pels seus dos extrems i somesa únicament a la força de la gravetat. Queda determinada per la posició dels seus extrems i la seua llongitut.

Irracionalitat i transcendència

Artícul principal → Demostració de que i és irracional.

El número real $\text{e}$ és irracional, lo que significa que no pot expressar-se com a fracció de dos número entero, com va demostrar Euler en 1737. En la seua demostració, Euler es va valdre de la representació de i com a fracció contínua, que en ser infinita, no pot correspondre a un número racional. No obstant, la demostració més coneguda va ser donada per Fourier, i es basa en el desenroll en série del número.

En 1768, J. H. Lambert (1728-1777) va provar que ${\text{e}}^{p/q}$ és irracional si $\frac{p}{q}$ és un racional positiu.

També és un transcendent, és dir, que no és la raïl de cap polinomi de coeficients sancers (vore teorema de Lindemann–Weierstrass). Va ser el primer número trascendente que va ser provat com a tal, sense haver segut construït específicament per a tal propòsit (comparar en el número de Liouville). La demostració d'açò va ser donada per Charles Hermite en 1873. Es creu que i ademés és un número normal. No se sap si i és un periodo algebraic.

Fòrmules que contenen al número i

A continuació, s'exhibixen vàries fòrmules que involucren de diverses formes a $\text{e}$:

$\frac{1}{\text{e}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1-2k}{(2k)!}.$

$\sqrt{\text{e}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{4k+3}{2^{2k+1}(2k+1)!}.$

$\frac{\text{e}+1}{e-1}=2+\frac{1}{6+\frac{1}{10+\frac{1}{14+\frac{1}{18+\ddots }}}}.$

$\sqrt{\text{e}}-1=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{5+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{9+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots }}}}}}}}}.$

$2=\frac{{\text{e}}^1}{{\text{e}}^{1/2}}\cdot \frac{{\text{e}}^{1/3}}{{\text{e}}^{1/4}}\cdot \frac{{\text{e}}^{1/5}}{{\text{e}}^{1/6}}\cdot \frac{{\text{e}}^{1/7}}{{\text{e}}^{1/8}}\cdots ,$

la qual s'obté de l'identitat $\ln 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\cdots$

$\text{e}-\frac{1}{\text{e}}=2\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{k^2{\pi }^2}).$

$\text{e}+\frac{1}{\text{e}}=2\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{4}{(2k-1{)}^2{\pi }^2}).$

Identitat de Euler o fòrmula mística de Euler

${\text{e}}^{i\pi }+1=0.$

Fòrmula de Stirling:

$n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{\text{e}}\right)}^n.$

Fòrmula de Gosper:

$-\frac{{\pi }^2}{12{\text{e}}^3}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}\cos \left(\frac{9}{k\pi +\sqrt{k^2{\pi }^2-9}}\right).$

Representacions de i

El número $\text{e}$ pot ser representat com un número real en vàries formes: com série infinita, com producte infinit, com fracció contínua o com llímit d'una successió.

Com a llímit

La principal d'estes representacions, particularment en els cursos bàsics de càlcul, és la pròpia definició de $\text{e}$, és dir, el llímit:

$\text{e}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n.$

En 1975, el suís Felix A. Keller va obtindre el llímit simètric:

$\text{e}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\frac{(n+1{)}^{n+1}}{n^n}-\frac{n^n}{(n-1{)}^{n-1}}].$

De la fòrmula de Stirling s'obté

$\text{e}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n\cdot {\left(\frac{\sqrt{2\pi n}}{n!}\right)}^{1/n}$ i

$\text{e}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$.

Es va mostrar també que

$\text{e}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[p_n]{(p_n\mathrm{\#})}$

a on $p_n$ és enèsim primer i $p_n\mathrm{\#}$ és el primorial de l'enèsim primer.

$\text{e}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^{\pi (n)/n}$

a on $\pi (n)$ la funció contadora de cosins.

Com a série o suma infinita

$\text{e}=\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k+1}{k!}$

$\text{e}=2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k+1}{(2k+1)!}$

$\text{e}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{3-4k^2}{(2k+1)!}$

$\text{e}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(3k{)}^2+1}{(3k)!}$

$\text{e}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2k+3}{(k+2)!}$

$\text{e}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^n}{B_n(k!)}$ a on $B_n$ és el $n$-esimo número de Bell.

Alguns eixemples d'esta última caracterisació:

$\text{e}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^2}{2(k!)}$

$\text{e}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^3}{5(k!)}$

$\text{e}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^4}{15(k!)}$

$\text{e}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^5}{52(k!)}$

$\text{e}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^6}{203(k!)}$

$\text{e}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^7}{877(k!)}$

Com a producte infinit

El número $\text{e}$ pot expressar-se també per mig de productes infinits «del tipo Wallis» de diverses formes, incloent el producte de Pippenger

$\text{e}=2{\left(\frac{2}{1}\right)}^{1/2}{\left(\frac{2}{3}\frac{4}{3}\right)}^{1/4}{\left(\frac{4}{5}\frac{6}{5}\frac{6}{7}\frac{8}{7}\right)}^{1/8}{\left(\frac{8}{9}\frac{10}{9}\frac{10}{11}\frac{12}{11}\frac{12}{13}\frac{14}{13}\frac{14}{15}\frac{16}{15}\right)}^{1/16}\cdots ,$

el producte de Català

$\text{e}={\left(\frac{2}{1}\right)}^{1/1}{\left(\frac{4}{1\cdot 3}\right)}^{1/2}{\left(\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}\right)}^{1/4}{\left(\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}\right)}^{1/8}\cdots ,$

i el producte de Guillera

$\text{e}={\left(\frac{2}{1}\right)}^{1/1}{\left(\frac{2^2}{1\cdot 3}\right)}^{1/2}{\left(\frac{2^3\cdot 4}{1\cdot 3^3}\right)}^{1/3}{\left(\frac{2^4\cdot 4^4}{1\cdot 3^6\cdot 5}\right)}^{1/4}\cdots ,$

a on el n-ésimo factor és la n-ésima raïl del producte

$\prod _{k=0}^n(k+1{)}^{(-1{)}^{k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})},$

com també el producte infinit

$\text{e}=\frac{2\cdot 2^{(\ln (2)-1{)}^2}\cdots }{2^{\ln (2)-1}\cdot 2^{(\ln (2)-1{)}^3}\cdots }.$

Com a fracció contínua

El desenroll decimal de i no mostra regularitat alguna. No obstant, en les fraccions contínues, que poden ser normalisades (en els numeradors tots iguals a 1) o no, obtenim, en fracció contínua normalisada:

$\text{e}=2+\frac{1}{1+\frac{1}{\mathrm{𝟐}+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\mathrm{𝟒}+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\mathrm{𝟔}+\frac{1}{1+\cdots }}}}}}}}},$

lo que s'escriu $\text{e}=[2;1,\mathbf{\text{𝟐}},1,1,\mathbf{\text{𝟒}},1,1,\mathbf{\text{𝟔}},1,1,\mathbf{\text{𝟖}},1,1,\dots ,\mathbf{\text{𝟐𝐧}},1,1,\dots ]$, propietat descoberta per Leonhard Euler (A003417 en OEIS). En fracció contínua no normalisada es té

$\text{e}=2+\frac{2}{2+\frac{3}{3+\frac{4}{4+\frac{5}{5+\frac{6}{6+\frac{7}{7+\cdots }}}}}}$

En abdós casos, i presenta #regularitat no fortuïtes.

Dígits coneguts

El número de dígits coneguts de i ha aumentat enormement durant les últimes décades. Açò és degut tant a l'aument de l'eixercite de les computadores com també a la millora dels algoritmes utilisats. En 1949, J. von Neumann i el seu grup varen utilisar l'ENIAC per a obtindre 2010 decimals. D. Shanks i J.W. Wrench varen trobar fins a 100.265 en 1961 en la fòrmula de Euler en un IBM 7090. Es varen amprar 2,5 hores. Ya per a 1994, R. Nemiroff i J. Bonnell havien aplegat a 10.000.000 de decimals.

En les últimes décades, els ordenadors varen ser capaços d'obtindre números que posseïxen una immensa cantitat de decimals. Aixina, per

eixemple, en l'any 2000, utilisant el programa de càlcul PiFast33 en un ordenador Pentium III 800, es varen obtindre 12 884 901 000 sifres decimals, per a lo que es varen necessitar 167 hores.

Número de dígits decimals coneguts de $\text{e}$

Data	Cantitat de sifres	Realisador del càlcul
1690	1	Jacob Bernoulli
1714	13	Roger Cotes
1748	23	Leonhard Euler
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	J. Marcus Boorman
1949	2,010	John von Neumann (en l'ENIAC)
1961	100,265	Daniel Shanks i John Wrench
1978	116,000	Steve Wozniak en l'Apple II
1994	10 000 000	Robert Nemiroff i Jerry Bonnell
Maig de 1997	18 199 978	Patrick Demichel
Agost de 1997	20 000 000	Birger Seifert
Setembre de 1997	50 000 817	Patrick Demichel
Febrer de 1999	200 000 579	Sebastián Wedeniwski
Octubre de 1999	869 894 101	Sebastián Wedeniwski
21 de novembre de 1999	1 250 000 000	Xavier Gourdon
10 de juliol de 2000	2 147 483 648	Shigeru Kondo i Xavier Gourdon
16 de juliol de 2000	3 221 225 472	Colin Martin i Xavier Gourdon
2 d'agost de 2000	6 442 450 944	Shigeru Kondo i Xavier Gourdon
16 d'agost de 2000	12 884 901 000	Shigeru Kondo i Xavier Gourdon
21 d'agost de 2003	25 100 000 000	Shigeru Kondo i Xavier Gourdon
18 de setembre de 2003	50 100 000 000	Shigeru Kondo i Xavier Gourdon
27 d'abril de 2007	100 000 000 000	Shigeru Kondo i Steve Pagliarulo
6 de maig de 2009	200 000 000 000	Shigeru Kondo i Steve Pagliarulo
21 de febrer de 2010	500 000 000 000	Alexander J. Yee
5 de juliol de 2010	1 000 000 000 000	Shigeru Kondo i Alexander J. Yee
24 de juny de 2015	1 400 000 000 000	Matthew Hebert
5 de decembre de 2020	31 415 926 535 897	David Christle

En l'época computacional del càlcul d'i les sifres s'han disparat, no solament per la potència de càlcul que estes màquines són capaces de generar, sino també pel prestigi que comporta per al constructor de la màquina quan la seua marca apareix en la llista dels récorts.

Primeres cent sifres decimals

Les cent primeres sifres de $\text{e}$ són:

$\text{e}\approx 2,7182818284$ $5904523536$ $0287471352$ $6624977572$ $4709369995$ $9574966967$ $6277240766$ $3035354759$ $4571382178$ $5251664274$

Qüestions obertes sobre i

• No se sap si $\text{e}$ és simplement normal en base 10 (o alguna atra base). Açò és, que cada u dels dèu dígits del sistema decimal tinga la mateixa provabilitat d'aparició en una expansió decimal.
• No se sap si ${\text{e}}^e$ és transcendent.
• No se sap si $\pi +e$ i $\pi \cdot e$ són irracionals. Se sap que no són raïls de polinomis de grau inferior a nou i en coeficients sancers de l'orde 10⁹. No obstant, a lo manco un de $e+\pi$ i $e\pi$ deu ser transcendental. De forma més general, per a dos número trascendente qualssevol $a$ i $b$, a lo manco un de $a+b$ i $ab$ deu ser transcendental. Per a vore-ho, considerem el polinomi $(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab.$ Si $(a+b)$ i $ab$ anaren algebraics llavors este seria un polinomi en coeficients algebraics. Com els número algebraico formen un cos algebraicamente tancat, açò implicaria que les raïls del polinomi, $a$ i $b,$ deuen ser algebraiques. Pero açò és una contradicció, i per tant deu donar-se el cas de que a lo manco un dels coeficients siga transcendental.

Cultura popular

A diferència del número π, el número i no és tan popular com el primer. No obstant, hi ha centenars d'entusiasta que memorisen els seus dígits. L'antic record ho posseïa Rahul Sharma en 25 000 sifres memorisades i la plusmarca de la categoria en malabares és de 571. A l'any 2026, el chilé Manuel Vergara li arrebata el record mundial, en 33 000 sifres memorisades.

Vore també

Demostració de l'irracionalitat d'i Funció exponencial Llista de constants matemàtiques Logaritmo Logaritmo d'una matriu Número irracional Número π Número trascendente

Referències

• El contingut d'est artícul incorpora material d'una entrada de l'Enciclopedia Libre Universal, publicada en castellà baix la llicència Creative Commons Compartir-Igual 3.0.

Bibliografia

• Shipachev, V. S. (1991). Fonaments de les matemàtiques superiors, Moscou: Mir, pp. 424. ISBN 9785060000481.
• (1991) Curse d'anàlisis matemàtic, Barcelona: Edunsa, pp. 369. ISBN 9788477470557.
• Banach, Stefan (1967). Càlcul diferencial i integral, Mèxic D.F.: UTEHA.
• Kong, Maynard (1991). Càlcul diferencial, PUCP., Fondo Editorial, pp. 540.
• (1980) Càlcul diferencial i integral, Limusa, pp. 686. ISBN 9789681811785.
• Semenovich Piskunov, Nikolai (1979). Càlcul diferencia i integral, Lopes da Silva.
• Estany Rodríguez, Enrique (2000). Càlcul diferencial i integral: bases per a un càlcul picudo, ULA, pp. 347.

Enllaços externs

• Descobrint el número i: el número i com a llímit d'una determinada successió.
• Recursos Educatius Sobre el Número i.

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Número i.
• Les primeres dèu mil sifres decimals del número i
• Un milló de sifres del número i.
• Fòrmula per al càlcul de llímits de successions del tipo 1 elevat a infinit
• Programa per al càlcul d'i i d'un atre gran número de constants (en inglés)
• $\text{e}$ Approximations – Wolfram MathWorld
• http://www.numberworld.org/misc_runs/e-500b.html
• The On-line Encyclopedia of Integer Sequences