Periodo algebraic

Archiu:Classes of Numbers.png

Els periodos algebraics com a subconjunt dels número complejo.

En matemàtiques, específicament en geometria algebraica, un periodo o periodo algebraic és un número complejo que es pot expressar com una integral d'una funció algebraica sobre un domini algebraic. Els periodos formen una classe de números i inclouen junt als número algebraico, moltes constants matemàtiques ben conegudes com el número π . Les sumes i productes de periodos seguixen sent periodos, de modo que els periodos $𝒫$ formen un anell.

Els periodos són importants en la teoria d'equacions diferencials i números transcendentals, aixina com en problemes oberts de la geometria algebraica moderna. També apareixen en calcular les integrals que sorgixen d'els diagrames de Feynman, i s'ha treballat intensament per a intentar comprendre les conexions.

Definició

Un número $\alpha$ és un periodo algebraic si es pot expressar com una integral de la forma:

$\alpha =\underset{P(x_1,\dots ,x_n)\ge 0}{\int }Q(x_1,\dots ,x_n)\mathrm{d}{x}_1\dots \mathrm{d}{x}_n$

$P$ és un polinomi i $Q$ és una funció racional en ${ℝ}^n$ en coeficients racionals. Un número complejo és un periodo si els seus partixes reals i imaginàries són periodos.

Una definició alternativa permet que $P$ i $Q$ són funcions algebraiques; açò sembla més general, pero és equivalent. Els coeficients de les funcions racionals i polinomis també poden generalisar-se a número algebraico perque els número algebraico irracionals es poden expressar en térmens d'àrees de dominis adequats.

En atres paraules, un periodo (no negatiu) és el volum d'una regió en ${ℝ}^n$ definida per desigualtats polinòmiques en coeficients racionals.

Propietats i motivació

Els periodos tenen per objecte salvar la brecha entre els número algebraico, que formen una classe massa chicoteta per a incloure moltes constants matemàtiques comunes, i els números transcendentals, que són incontables i, llevat molt pocs eixemples específics, difícils de descriure. Per lo general tampoc són computables .

L'anell dels periodos $𝒫$ es troba entre els número algebraico $\bar{\mathbb{Q}}$ i número complejo $ℂ$ i és contable . Els periodos en sí són tots computables, i en particular definibles. Tenim l'inclusió: $\bar{\mathbb{Q}}\subset 𝒫\subset ℂ$ .

Els periodos inclouen alguns d'eixos números transcendentals, que poden descriure's de forma algorítmica i només contenen una cantitat finita d'informació.