Números de Feigenbaum

Diagrama de forcall: la constant de Feigenbaum δ expressa el llímit de la relació de distàncies entre consecutius forcalls Li / Li + 1.

En matemàtica, els números o constants de Feigenbaum són dos número real descoberts pel matemàtic Mitchell Feigenbaum en 1975. Abdós expressen cocients que apareixen en els diagrames de forcall de la teoria del caos.

Les constants

Els diagrames de forcall es referixen als valores llímit presos per les seqüències del tipo $x_{n+1}=\mu f(x_n)$ a on f és una funció real, definida positiva i tres voltes derivable sobre [0;1] i posseint un únic valor màxim sobre este interval (és dir, sense valor màxim relatiu).

Tenint en conte x_m per a una funció donada, baix d'un determinat valor de μ, la seqüència conduïx a un únic llímit. Sobre eixe valor, pero baix d'un atre, la seqüència termina per oscilar entre dos valors, després, per damunt d'este atre valor, escomença a oscilar entorn a quatre, etc. Els valors de μ que separen dos intervals es diuen valors dels forcalls i es nomenen com μ₁,μ₂, etc.

La primera Constant de Feigenbaum està definida com el llímit dels cocients entre dos intervals successius del forcall.

$\delta =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\mu }_{n+1}-{\mu }_n}{{\mu }_{n+2}-{\mu }_{n+1}}$

I val aproximadament:

$\delta \approx 4,669201609102990671853203821578439,\dots$Plantilla:OEIS

La segona constant de Feigenbaum es definix com el llímit de la relació entre dos distàncies successives entre les branques més propenques de x_m (el màxim de la funció f):

$\alpha =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{d_n}{d_{n+1}}$

I val aproximadament:

$\alpha \approx 2,502907875095892822283902873218478\dots$Plantilla:OEIS

Lo interessant és comprovar que estos periodos i les constants de Feigenbaum són independents de la forma de la funció f(x), sempre que siga tres voltes derivable i no tinga màxims relatius. Eixemples de funcions aixina són f(x)=x-x², f(x)=sen(x), etc.