Número de Liouville

En teoria de números, un número de Liouville és un número real x tal que, per a qualsevol sancer positiu n, existixen atres dos sancers p i q, q > 1, que satisfan:

$0<|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^n}.$

Gràcies a les fraccions contínues sabem que tot número real pot aproximar-se per infinits racionals p/q que verifiquen 0 < |x − p/q| < 1/q². Els números de Liouville són aquells per als quals el 2 en l'exponent de q pot ser canviat per qualsevol natural n, o siga que d'alguna manera són els "millor aproximats" per racionals, aixina que tenen un exponent d'irracionalitat infinit.

Algunes propietats

• Tot número de Liouville és irracional.
• Els números de Liouville són trascendentes.
• El conjunt de números de Liouville té mida de Lebesgue zero.
• El conjunt de números de Liouville pot obtindre's com una intersecció numerable d'oberts densos en ℝ. Com a conseqüència d'açò (utilisant el teorema de Baire i que els reals formen un espai mètric complet) es deduïx que este conjunt és no numerable i dens en els reals.

Constant de Liouville

L'eixemple més conegut de número de Liouville és el que es denomina "constant de Liouville", definit com:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\dots$

Est va ser el primer número que va poder demostrar-se que és transcendent, prova deguda a Joseph Liouville (1850).