Teorema de categories de Baire

La teorema de les categories de Baire o simplement teorema de Baire és una ferramenta important en topología general i en anàlisis funcional. La teorema té dos formes, cada una de les quals dona condicions suficients per a que un espai topològic siga un espai de Baire. La versió per a espais mètrics complets va ser demostrada per René-Louis Baire en la seua tesis doctoral de 1899.

Enunciat de la teorema

Un espai de Baire és un espai topològic en la propietat següent: per a cada colecció numerable de conjunts oberts densos $\{U_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, la seua intersecció ${\bigcap }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_n$ és densa.

• (TCB1) Tot espai mètric complet és un espai de Baire. En térmens més generals, tot espai topològic que és homeomorfo a un subconjunt obert d'un espai pseudométrico complet és un espai de Baire. Aixina, tot espai topològic completament metrisable és un espai de Baire.
• (TCB2) Tot espai de Hausdorff localment compacte és un espai de Baire. La prova és similar a lo anterior, la propietat de l'intersecció finita pren el paper jugat per la completitud.

Cap d'estes afirmacions implica l'atra, ya que hi ha espais mètrics complets que no són localment compactes (els número irracional en la mètrica definida a continuació; també, qualsevol espai de Banach de dimensió infinita), i hi ha espais de Hausdorff localment compactes que no són metrisables (per eixemple, qualsevol producte no numerable d'espais de Hausdorff compactes no trivials; també, varis espais de funcions utilisats en l'anàlisis funcional, o l'espai de Fort no numerable). Vore Steen i Seebach en les referències següents.

• (TCB3) Un espai mètric complet no buide no és unió numerable de conjunts disseminats.

Esta formulació és equivalent a TCB1 i a voltes és més útil en aplicacions. També: si un espai mètric complet no buit és l'unió numerable de conjunts tancats, llavors un d'estos conjunts tancats té interior no buit.

Relació en l'axioma d'elecció

Les demostracions de TCB1 i TCB2 per a espais mètrics complets arbitraris requerixen alguna forma del axioma d'elecció i, de fet, TCB1 és equivalent sobre ZF al axioma d'elecció depenent, una forma dèbil de l'axioma d'elecció.

És possible demostrar sobre ZF, sense necessitat de principis d'elecció adicionals, una forma restringida de la teorema de les categories de Baire, en la que se supon que l'espai mètric complet també és separable. Esta forma restringida s'aplica en particular a la recta real, l'espai de Baire ${\omega }^{\omega }$, i l'espai de Cantor $2^{\omega }$.

Referències

• R. Baire. Sur els fonctions de variables réelles. Ann. vaig donar Mat., 3:1–123, 1899.
• Blair, Charles E. (1977), "The Baire category theorem implies the principle of dependent choices.", Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys., v. 25 n. 10, pp. 933–934.
• Levy, Azriel (1979), Basic Set Theory. Reprinted by Dover, 2002. ISBN 0-486-42079-5
• Schechter, Eric, Handbook of Analysis and its Foundations, Academic Press, ISBN 0-12-622760-8
• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).