Espai pseudométrico

En matemàtiques, i més específicament en topología i anàlisis funcional, espai pseudométrico és un concepte que generalisa el d'espai mètric, substituint el concepte de distància pel de pseudodistancia o pseudométrica, de tal forma que la pseudodistancia entre dos punts distints pot ser zero.^[1]

Una pseudodistancia o, més generalment, una família de pseudodistancias determina en un conjunt una estructura uniforme. l'espai topològic resultant es denomina espai de calibració o espai gauge.

Reciprocament, tota estructura uniforme pot ser induïda per una família de pseudodistancias. En particular, una sola pseudodistancia és suficient per a determinar l'estructura si i solament si existix un sistema fonamental de entorns numerable.

Definició i propietats

Un espai pseudométrico $(X, d)$ és un parell format per un conjunt $X$ i una funció $d : X \times X ⟶ ℝ_{\geq 0}$ (denominada semidistancia o pseudométrica), en valors reals no negatius, tal que para tot $x, y, z \in X$ ,

$d (x, x) = 0$ .
$d (x, y) = d (y, x)$ (simetria)
$d (x, z) \leq d (x, y) + d (y, z)$ (desigualtat triangular)

D'estes condicions es deduïx que la pseudodistancia no pot prendre valors negatius, ya que $d (x, y) = \frac{1}{2} (d (x, y) + d (y, x)) \geq \frac{1}{2} d (x, x) = 0$ .

Tot espai mètric és un espai pseudométrico. No obstant, en general, no es requerix que els punts siguen distinguibles; és dir, pot donar-se $d (x, y) = 0$ per a diferents valors $x \neq y$ .

Utilisant pseudodistancias en lloc de distàncies es poden traslladar fàcilment als espais pseudométricos alguns conceptes definits originalment per a espais mètrics, com el d'acotación de conjunts i funcions o el de continuïtat uniforme.

La suma d'una família finita de pseudodistancias $d_{i}; 1 \leq i \leq n$ en un conjunt $X$ és una atra pseudodistancia $d (x, y) = d_{1} (x, y) + d_{2} (x, y) + \dots + d_{n} (x, y)$ .

A partir d'una família numerable de pseudodistancias $d_{i}; i \in ℕ$ definides en el mateix conjunt $X$ pot definir-se una distància per mig de

d (x, y) = \sum_{i = 0}^{\infty} 2^{- i} \frac{d_{i} (x, y)}{1 + d_{i} (x, y)}

Eixemples

Tot espai mètric $(M, d)$ és vàlit com a eixemple d'espais pseudométricos.

La pseudodistancia nula $d (x, y) = 0$ definida en qualsevol conjunt $X$ determina la topología trivial.

Siga $ℱ (X)$ l'espai de funcions $f : X \to ℝ$ definides en un conjunt $X$ en valors reals, en el que s'ha elegit un punt $x_{0} \in X$ . Este punt induïx una pseudodistancia en $ℱ (X)$ definida per

d (f, g) = | f (x_{0}) - g (x_{0}) |

para tot

f, g \in ℱ (X)

En un espai vectorial $V$ , una seminorma $p$ induïx una pseudodistancia definida per

d (x, y) = p (x - y) .

Tot espai de mida $(Ω, 𝒜, μ)$ pot vore's com un espai pseudométrico complet definint

d (A, B) : = μ (A Δ B)

para tot

A, B \in 𝒜

.

Notes

↑ Burago, Dimitri; Burago, {{{nom2}}}; Ivanof, {{{nom3}}} (2001). A Course in Metric Geometry (en anglés), American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2129-6.

Referències

von Querenburg, Bote (2001). Mengentheoretische Topologie (en alemà), Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-67790-9.

Arkhangel'skii (1990). General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory (en anglés), Springer. ISBN 3-540-18178-4.

Steen, Lynn Arthur (1995). Counterexamples in Topology, new edition edició (en anglés), Dover Publications. ISBN 0-486-68735-X.

Plantilla:Planetmath reference

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Espacio pseudométrico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Burago, Dimitri; Burago, {{{nom2}}}; Ivanof, {{{nom3}}} (2001). A Course in Metric Geometry (en anglés), American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2129-6.

[1]