Espai metrisable

En topología i àrees relacionades de les matemàtiques, un espai metrisable és un espai topològic que és homeomorfo a un espai mètric. Açò és, es diu que un espai topològic $(X,𝒯)$ és metrisable si existix una mètrica

$d:X\times X\to [0,\mathrm{\infty })$

tal que la topología induïda per d és $𝒯$. Les teoremes de metrisació són teoremes que donen condicions suficients per a que un espai topològic siga metrisable.

Propietats

Els espais metrisables hereten totes les propietats topològiques dels espais mètrics. Per eixemple, són espais paracompactos de Hausdorff (i per tant normals i de Tíjonov) i primer-numerables. No obstant, algunes propietats dels espais mètrics, com la completitud, no s'hereten de forma immediata. Un espai uniforme metrisable, per eixemple, pot tindre un conjunt diferent d'aplicacions contractivas al d'un espai mètric al que siga homeomorfo.

Teoremes de metrisació

Un de les teoremes de metrisació més coneguts és el teorema de metrisació de Urysón. Est afirma que tot espai regular segon-numerable de Hausdorff és metrisable. Aixina, per eixemple, tota varietat segon-numerable és metrisable. Este enunciat va ser provat per Tíjonov en 1926. La teorema original que va provar Urysón, en un artícul publicat póstumamente en 1925, dia que tot espai de Hausdorff normal segon-numerable és metrisable. El recíproc de la teorema no és cert, existixen espais mètrics que no són segon-numerables, com per eixemple un conjunt no numerable dotat en la mètrica discreta. El teorema de metrisació de Nagata-Smírnov, que es desenrolla més alvance, dona unes condicions més específiques en les que es complix el recíproc.

Existixen atres teoremes de metrisació que són simples corolaris de la teorema de Urysón. Per eixemple, un espai de Hausdorff compacte és metrisable si i solament si és segon-numerable.

La teorema de Urysón es pot reformular de la següent forma: Un espai topològic és separable i metrisable si i solament si és regular, de Hausdorff i segon-numerable. El teorema de metrisació de Nagata-Smírnov estén este resultat al cas no separable. Afirma que un espai topològic és metrisable si i solament si és regular, de Hausdorff i té una base σ-localment finita. Una base σ-localment finita és una base que és unió d'una cantitat numerable de coleccions localment finitas de conjunts oberts. El teorema de metrisació de Bing és un resultat molt relacionat en est.

Els espais metrisables separables també es poden caracterisar com aquells espais que són homeomorfos a un subespacio del gaveta de Hilbert $[0,1{]}^{\mathbb{N}}$, açò és, el producte infinit numerable del interval unitat (en la seua topología de subespacio natural dels reals), equipat en la topología producte.

Es diu que un espai és localment metrisable si tot punt té un entorn numerable. Smírnov va provar que un espai localment metrisable és metrisable si i solament si és Hausdorff i paracompacto. En particular, una varietat és metrisable si i solament si és paracompacta.

Vore també

• Uniformizabilidad
• Espai de Moore

• Teorema de metrisació de Nagata-Smírnov
• Teorema de metrisació de Bing