Si i solament si

Plantilla:Conectives llògiques En alguns contexts en matemàtiques i llògica, un bicondicional (equivalència o doble implicació, en ocasions parafraseado en espanyol com si i solament si) és un operador llògic binario, és dir, una funció ___*$\leftrightarrow :B\times B\to B$, siendo B cualquier conjunto con $|B|=2$, aunque es común que se considere a B como $B=\{V,F\}$ o $B=\{0,1\}$. El bicondicional també s'eixercita com conectiu llògic, permetent formular expressions de la forma «P si i solament si Q», que és verdadera en el cas de que abdós components tinguen el mateix valor de veres. En un atre context el bicondicional representa l'equivalència llògica entre dos proposicions.

Definició

el valor de veres d'un bicondicional «p si i solament si q» és verdader quan abdós proposicions (p i q) tenen el mateix valor de veres, és dir, abdós són verdaderes o falses simultàneament; de lo contrari, és fals. Es té aixina que l'afirmació «p si i solament si q» és llògicament equivalent al parell d'afirmacions «Si p, llavors q», i «si q, llavors p». Escrit utilisant conectives llògiques :

$p\leftrightarrow q\equiv (p\to q)\wedge (q\to p)$.

De manera més precisa, l'operador bicondicional té la següent taula de veres:

si i solament si

p	q	p ↔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Representació i llectura

Una forma d'expressar el bicondicional és dir que Q és una condició necessària i suficient per a P. També es coneix en el nom de coimplicación.

En espanyol s'usen les abreviatures sii, ssi i syss, de modo que és equivalent p ↔ q a «p sii q». En anglés s'abrevia iff (If and only if). En Llògica i en matemàtiques els símbols amprats per a denotar el bicondicional són ___*$\leftrightarrow$,$⟺$ y ≡. La notacion $\leftrightarrow$ se utiliza frecuentemente como un conectiu u operador lógic, que permite combinar dos proposiciones más simples per a generar una proposición compuesta de la forma $P\leftrightarrow Q$, mentres que la segona i tercera notació s'ampren casi sempre per a denotar la relació d'equivalència llògica entre dos proposicions llògiques. El significat de cada notació depén fortament del context en que s'utilisen.

Adicionalment, en l'àmbit de la llògica digital, el funcionament de l'operador bicondicional pot emular-se per mig de la porta llògica XNOR, i a la negació de la porta XOR.

Eixemples

• «___*$2<10\leftrightarrow 5|20$ » y «$5>9\leftrightarrow \sqrt{17}<\sqrt[3]{6}$ » són bicondicionals verdaderos.

• $c=\text{mcm}(a,b)⟺c\mathbb{Z}=a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z}$ , donde $n\mathbb{Z}$ denota als múltiples sancers de n. És essencial distinguir entre les relacions bicondicionals i les que són merament condicionals. Per eixemple, note's la diferència entre les dos proposicions següents:

Una persona és major d'edat si posseïx llegalment el carnet de conductor.

O be,

Una persona és major d'edat si i solament si posseïx llegalment el carnet de conductor.

La primera proposició és correcta, ya que és impossible posseir llegalment el carnet de conduir sent menor d'edat. Per tant, si es té el carnet, es té que ser obligatòriament major d'edat.

La segona és incorrecta, ya que la relació entre «tindre el carnet de conduir» i «ser major d'edat» no és bicondicional. Dit d'un atre modo: es pot ser major d'edat sense tindre el carnet de conduir.