Equivalència llògica

Archiu:Venn1001.svg

Equivalència llògica

En llògica, les declaracions p i q són llògicament equivalents si tenen el mateix contingut llògic. Est és un concepte semàntic, dos afirmacions són equivalents si tenen el mateix valor de veres en tots els models (Mendelson 1979:56). L'equivalència llògica de p i q algunes voltes s'expressa com $p\equiv q$, Ipq, o $p\iff q$que

Equivalència llògiques

Siga V una veritat llògica i F una falsetat llògica:

Equivalència	Nomene
p∧V≡p p∨F≡p	Lleis d'identitat
p∨V≡V p∧F≡F	Lleis de dominació
p∨p≡p p∧p≡p	Lleis de idempotencia
﹁(﹁p)≡p	Lleis de doble negació
p∨q≡q∨p p∧q≡q∧p	Lleis de conmutación
(p∨q)∨r≡p∨(q∨r) (p∧q)∧r≡p∧(q∧r)	Lleis d'associació
p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r) p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)	Lleis de distribució
﹁(p∧q)≡﹁p∨﹁q ﹁(p∨q)≡﹁p∧﹁q	Lleis de De Morgan
p∨(p∧q)≡p p∧(p∨q)≡p	Lleis d'absorció
p∨﹁p≡V p∧﹁p≡F	Lleis de negació

Equivalència llògiques que involucren declaracions condicionals:

p→q≡﹁p∨q

p→q≡﹁q→﹁p

p∨q≡﹁p→q

p∧q≡﹁(p→﹁q)

1. ﹁(p→q)≡p∧﹁q
   
2. (p→q)∧(p→r)≡p→(q∧r)
   
3. (p→q)∨(p→r)≡p→(q∨r)
   
4. (p→r)∧(q→r)≡(p∨q)→r
   
5. (p→r)∨(q→r)≡(p∧q)→r
   

Equivalència llògiques que involucren bicondicionales:

p↔q≡(p→q)∧(q→p)

p↔q≡﹁p↔﹁q

p↔q≡(p∧q)∨(﹁p∧﹁q)

1. ﹁(p↔q)≡p↔﹁q
   

Eixemple

Les dos sentències següents són llògicament equivalents:

1. Si Lisa està en França, llavors ella està en Europa (en símbols, $f\to e$).
2. Si Lisa no està en Europa, llavors ella no està en França (en símbols, $\mathrm{\neg }e\to \mathrm{\neg }f$).

Sintácticamente, (1) i (2) són derivables cada una de l'atra a través de la regla de contraposició i doble negació. Semánticamente, (1) i (2) són verdaderes en exactament els mateixos models (interpretacions, valuaciones); a saber, aquells en que Lisa està en França és fals o be Lisa està en Europa és verdader.

(Tindre en conte que en este eixemple se supon llògica clàssica. Algunes llògiques no clàssiques no consideren (1) i (2) llògicament equivalents.)

Vore també

• Conseqüència llògica
• Equisatisfactibilidad
• Bicondicional
• Relació d'equivalència
• Regla d'inferència

Referències

• Equivalència llògica en MathWorld.