Espai de Tíjonov

Axioma de separació en espais topològics
T0
T1
T2
T2½
completament T2
T3
T3½
T4
T5
T6

En topología i branques relacionades de les matemàtiques, els espais de Tíjonov i els espais completament regulars són tipos d'espais topològics. Estes condicions són eixemples d'axioma de separació.

Els espais de Tíjonov duen el nom d'Andréi Nikoláievich Tíjonov, el nom del qual en rus (Тихонов) es translitera en ocasions com "Tychonoff", "Tychonov", "Tikhonov", "Tihonov", "Tichonov" etc.

Definicions

Aclariment sobre la definició d'espai totalment regular.

Supongam que $X$ és un espai topològic.

$X$ és un espai completament regular si donat qualsevol conjunt tancat $F\subset X$ i qualsevol punt $x_0$ que no pertanyga a $F$, llavors existix una funció contínua $f:X\to ℝ$ de $X$ en la recta real $ℝ$ tal que $f(x)=0$ para tot $x\in F$ i $f(x_0)=1$. En atres paraules, esta condició afirma que $x_0$ i $F$ es poden separar per una funció contínua.

X és un espai de Tíjonov, espai T_3½, espai T_π, o espai completament T₃ si és completament regular i Hausdorff.

Note's que partix de la lliteratura matemàtica utilisa diferents definicions per al terme «completament regular» i en els térmens que inclouen «T». Les definicions donades ací són les que s'utilisen en l'actualitat. No obstant, alguns autors intercanvien el significat dels dos térmens, o els usen com a sinònims per a la mateixa condició. Per això s'usaren els térmens «completament regular» i «Tíjonov» lliurement pero s'evitaran els térmens més ambigus de la «T».

Els espais completament regulars i els espais de Tíjonov es relacionen a través de la noció d'equivalència de Kolmogórov. Un espai topològic és Tíjonov si i solament si és completament regular i T₀. Per un atre costat, un espai és completament regular si i solament si el seu cocient de Kolmogórov és Tíjonov.

Eixemples i contraeixemples

Casi qualsevol espai topològic estudiat en anàlisis matemàtic és Tíjonov, o a lo manco completament regular. Per eixemple, la recta real és Tíjonov baix la topología euclidiana estàndar. Atres eixemples inclouen:

• Tot espai mètric és Tíjonov; tot espai pseudométrico és completament regular.
• Tot espai regular localment compacte és completament regular, i per tant tot espai de Hausdorff localment compacte és Tíjonov.
• En particular tota varietat topològica és Tíjonov.
• Tot conjunt totalment ordenat en la topología de l'orde és Tíjonov.
• Tot grup topològic és completament regular.
• Generalisant tant els espais mètrics com els grups topològics, tot espai uniforme és completament regular. El recíproc també és cert: tot espai completament regular és uniformisable.
• Tot CW-complex és Tíjonov.
• Tot espai regular normal és completament regular, i tot espai de Hausdorff normal és Tíjonov.
• El pla de Niemytzki és un eixemple d'espai de Tíjonov que no és normal.

Vore també

• Axioma de separació
• Espai de Kolmogórov (T₀)

• Espai de Fréchet (T₁)
• Espai de Hausdorff (T₂)
• Espai completament de Hausdorff
• Espai regular (T₃)
• Espai normal

Referències

• Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• Gillman, Leonard; Jerison, Meyer Rings of continuous functions. Reprint of the 1960 edition. Graduate Texts in Mathematics, No. 43. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1976. xiii+300 pp