Axioma de separació

Archiu:Hausdorff space.svg

Un dels graus possibles de separació és el dels espais T₂ o Hausdorff, en que punts diferents sempre estan separats per oberts disjuntos.

En topología els axioma de separació són propietats que pot satisfer un espai topològic en funció del grau en que distints punts o conjunts tancats poden ser separats per mig dels oberts de la topología.

Existixen varis nivells creixents de separació que es poden demanar a un espai topològic. Solen denominar-se en la lletra T (de Trennung, separació en alemà) i un subíndex convenient. Aixina apareix una jerarquia d'espais, entre els que cal destacar als espais T₂ o espais de Hausdorff, els T₃ o espais regulars i els T₄ o espais normals.

Salve per a T₀, T₁ i T₂, els noms dels axioma de separació no estan completament estandardisats.

Introducció

La definició d'topología, en la seua generalitat, admet estructures topològiques poc útils: pensem en un conjunt X en més d'un element, dotat en la topología trivial (i.i. els seus únics oberts són Ø i tot X). Esta topología no conté oberts que nos permeten distinguir topológicamente dos punts diferents: abdós punts compartixen l'únic entorn possible. Mirant els entorns oberts de cada punt nos resulta impossible distinguir-los. Diem que, a efectes topològics, X no és diferent d'un conjunt d'un sol punt dotat de la topología trivial.

Els axioma de separació són requisits sobre la topología d'un espai que garantisen l'existència d'un número suficient de conjunts oberts com per a distinguir topológicamente punts distints. Els diferents graus en que es concreta esta exigència es plasma en els diferents axioma de separació.

Alguns axioma de separació

Espais T₀ o de Kolmogórov

Artícul principal → Espai T0.

Un espai topològic $X$ es diu $T_0$ si i solament si per a qualsevol parell de punts distints $x,y\in X$ existix un obert que conté un dels punts i no conté l'atre punt.

Una equivalència a esta propietat és la següent: si $x,y$ són elements de l'espai $X$ tals que la clausura de $\{x\}$ i la clausura de $\{y\}$ siguen iguals llavors $x=y$

Espais $T_1$ o Fréchet

Artícul principal → Espai T1.

Un espai topològic $X$ es diu $T_1$ si i solament si per a qualsevol parell de punts $x,y$ de $X$ hi ha un parell de conjunts oberts $A_1$, $A_2$, tal que $x$ estiga en $A_1$, pero no en $A_2$, i ademés $y$ estiga en $A_2$, pero no en $A_1$. Una equivalència important és que $X$ és $T_1$ si i solament si els subconjunts de $X$ formats per un únic punt són tancats.

Espais $T_2$ o de Hausdorff

Artícul principal → Espai de Hausdorff.

Un espai topològic X és d'Hausdorff o $T_2$ si i solament si per a qualsevol parell de punts distints $x,y$ en $X$ existix un parell d'oberts disjuntos que conté un a $x$ i un atre a $y$.

Estos espais són especialment importants puix ademés de supondre una gran cantitat d'eixemples (tots els espais mètrics són $T_2$), tenen propietats fortes com el que la convergència d'una successió o d'un filtre, en cas d'existir, siga única.

Espais $T_3$ o regulars

Artícul principal → Espai regular.

Un espai topològic X és regular si és $T_1$ i per a cada punt $x\in X$ i qualsevol tancat $F\subset X$ tal que x no pertany a F. Llavors existixes entorns $U_x$ i $U_F$ tals que la seua intersecció és buida. És dir, podem separar punts de tancats.

Espais completament regulars i espais $T_{3\frac{1}{2}}$ o Tychonoff

Un espai topològic X és completament regular si per a cada punt $x\in X$ i qualsevol tancat $F\subset X$ tal que x no pertany a F existix una funció contínua $f:X\to [0,1]$ tal que $f(x)=0$ i $f(F)=1$.

Un espai topològic X és de Tychonoff si és $T_1$ i completament regular. També pot designar-se com a espai de Hausdorff completament regular.

Espais $T_4$ o normals

Un espai topològic X és normal si és $T_1$ i per a cada parell de tancats $F_1,F_2\subset X$ en intersecció buida existixen uns entorns que els continguen $U_{F_1}$ i $U_{F_2}$ tal que la seua intersecció siga buida. És dir, podem separar tots els tancats de l'espai. En particular els espais mètrics són normals.