Contracció (espai mètric)

En matemàtica, una contracció o aplicació contractiva d'un espai mètric és una aplicació matemàtica f d'un espai mètric (M, d) en sí mateixa ($f:M\to M$) en la propietat de que existix un número real $k<1$ i no negatiu tal que para tot x i i en M:

El mínim valor de k que satisfà la relació anterior es diu constant de Lipschitz de f. Una aplicació contractiva es diuen a voltes aplicacions (de tipo) lipschitz. Si la condició anterior se satisfà per a $k\le 1$, llavors l'aplicació es denomina, no-expansiva. En térmens no-tècnics, una aplicació contractiva aplica qualsevol dels dos punts x i i de M a punts situats més junts de lo que originalment estaven els punts x i i.

Contracció i punts fixos

Una contracció posseïx a lo més un punt fix. Més encara, la teorema de Banach del punt fix afirma que tota contracció sobre un espai mètric complet té un únic punt fix, i per tant per a cada x de M la seqüència iterativa x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... convergix al punt fix. Esta noció és molt útil en el context dels sistemes de funcions iteradas, a on s'usen freqüentment les contracció. La teorema del punt fix de Banach també s'aplica per a provar l'existència de solucions de sistemes d'equacions diferencials, i s'usa per a la prova del teorema de la funció inversa. Tota contracció és Lipschitz-contínua i per tant uniformemente contínua.

Generalisacions

Més generalment, el concepte de contracció pot ampliar-se a aplicacions entre diferents espais mètrics. Per eixemple, si (M,d) i (N,d') són dos espais mètrics, $f:M\to N$ serà una contracció si existix una constant k tal que $d^{\prime }(f(x),f(y))\le kd(x,y)$ per a tot x i i de M. Encara que en este cas no té sentit parlar de punts fixos.

Vore també

• Funció curta
• Contracció (teoria d'operadors)
• Teorema del punt fix de Banach

Referències

Bibliografia

• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7 provides an undergraduate level introduction.
• Andrzej Granes and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5
• William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2