Teorema del punt fix de Banach

En anàlisis matemàtic el teorema del punt fix de Banach (també cridada teorema de l'aplicació contractiva) és una de les ferramentes més importants per a demostrar l'existència de solucions de numerosos problemes matemàtics. La teorema garantisa l'existència i unicitat de punts fixos de certes funcions definides sobre espais mètrics i proporciona un método per a trobar-los. Deu el seu nom a Stefan Banach (1892–1945), qui va anar el primer en enunciar-ho en 1922^{cita requerida}.

Intuitivamente, la teorema enuncia que tota funció que faça que un espai es contraga té un punt fix: aquell cap al que l'espai es contrau quan s'aplica la transformació repetides voltes. Per a açò, no obstant, fa falta que l'espai siga complet. Per a vore la necessitat, en $ℝ\setminus \{0\}$, per eixemple, que no és complet, podem contraure cap al forat (el 0) per una aplicació com $x\mapsto \frac{x}{2}$ i no tindríem punt fix.

Enunciat

Siga $(X,d)$ un espai mètric complet i $f$ una aplicació. Es diu que $f$ és contractiva si existix una constant $K$ en $0<K<1$ tal que $d(f(x),f(y))\le Kd(x,y)$ per a qualssevol $x,y\in X$. Un punt fix $z$ de $f$ és un punt de $X$ tal que $f(z)=z$. Llavors la teorema del punt fix de Banach diu:

Siga (X,d) un espai mètric complet i siga f: X → X una aplicació contractiva en X. Llavors existix un únic punt fix de f. Stefan Banach

Ademés, la teorema establix que para tot punt $x_0$ de $X$ la successió $\{x_n=f(x_{n-1}){\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ convergix a dit punt fix.

Demostració

Existència del punt fix: La demostració se seguix de que la successió

$\{x_n\}$

aixina definida és una successió de Cauchy per ser la funció contractiva:

Per a un

$\epsilon >0$

fixat, anem a trobar

$k$

suficientment gran per a que si

$n,m\ge k$

llavors

$d(x_n,x_m)=d(f^n(x),f^m(x))\le \epsilon$

. Podem supondre que

$n\ge m$

. Llavors, tenim que

$d(f^n(x),f^m(x))\stackrel{\text{Des. triang.}}{\le }d(f^n(x),f^{n-1}(x))+d(f^{n-1}(x),f^{n-2}(x))+\dots +d(f^{m+1}(x),f^m(x))\stackrel{\text{Contractiva}}{\le }$

$\le K^{n-1}d(f(x),x)+K^{n-2}d(f(x),x)+\dots +K^{m}d(f(x),x)=K^{m}d(f(x),x)\sum _{i=0}^{n-m-1}{K}^i\le K^{m}d(f(x),x)\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{K}^i=\frac{K^m}{1-K}d(f(x),x)$

i esta expressió es pot fer arbitrariamente chicoteta per a

$m$

gran.

Com a X és complet, esta successió convergix a un punt

$z$

de X. Este punt

$z$

és punt fix de

$f$

, puix

$z=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_{n-1})\stackrel{(*)}{=}f(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_{n-1})=f(z)$

. En

$(*)$

hem usat que

$f$

és contínua per ser contractiva:

Dau

$\epsilon >0$

, si prenem

$\delta =\frac{\epsilon }{K}>0$

, se satisfà que si

$d(x,y)\le \delta$

, llavors

$d(f(x),f(y))\le Kd(x,y)\le K\frac{\epsilon }{K}=\epsilon$

. L'existència d'este

$\delta >0$

per a qualsevol

$\epsilon >0$

nos dona la continuïtat per definició.

Unicitat del punt fix: Supongam que

$z$

i

$w$

són dos punts fixos per

$f$

. Llavors,

$d(z,w)=d(f(z),f(w))\le Kd(z,w)<d(z,w)$

, l'última desigualtat estricta sempre i quan

$d(z,w)\ne 0$

, lo que seria una contradicció, per lo que

$d(z,x)=0$

i, per definició de distància,

$z=w$

. És dir, els dos suposts punts fixos per

$f$

són en realitat necessàriament el mateix. Per tant, només pot haver un.

$◻$

Ilustració de la teorema

Ilustració de la teorema del punt fix de Banach.

Una manera de visualisar la teorema consistix en utilisar un mapa que represente l'entorn en el que es troba (pot ser un mapa d'Europa colocat en algun punt d'Europa, com en l'image a la dreta). Podem entendre este mapa com una contracció de l'entorn: a cada punt de la realitat li assignem el punt que ho representa en el mapa; clarament la distància entre dos punts del mapa és sempre menor que la distància entre els llocs que representen.

La teorema del punt fix de Banach afirma llavors que hi ha un únic punt del mapa que es troba directament damunt del punt de la realitat que representa. No importa cóm de gran és el mapa; només fa falta que siga més chicotet que la realitat que representa (l'aplicació deu ser contractiva). I tampoc importa en quin lloc es coloca el mapa; només fa falta que estiga dins de la realitat que representa (l'aplicació deu anar de l'espai $X$ en sí mateixa).

En la figura de la dreta, sabem que hi ha un punt, i només un, del mapa chicotet (encara que no sapiam quin concretament) que està exactament damunt del mateix punt del mapa gran (que representa el món real).